{l}{4a_{1}+6d=3}{3a_{1}+21d=4}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a _ { 1 } + 6 d = 3 } \\ { 3 a _ { 1 } + 21 d = 4 } \end{array} \right.$$

a_1, d এর জন্য সমাধান করুন

$$a_{1}=\frac{13}{22}\approx 0.590909091$$

$$d=\frac{7}{66}\approx 0.106060606$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের a_{1} পৃথক করে a_{1}-এর জন্য সমাধান করুন।

$$4a_{1}+6d=3$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 6d বাদ দিন।

$$4a_{1}=-6d+3$$

4 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$a_{1}=\frac{1}{4}\left(-6d+3\right)$$

\frac{1}{4} কে -6d+3 বার গুণ করুন।

$$a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}$$

অন্য সমীকরণ 3a_{1}+21d=4 এ a_{1} এর জন্য -\frac{3d}{2}+\frac{3}{4} বিপরীত করু ন।

$$3\left(-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}\right)+21d=4$$

3 কে -\frac{3d}{2}+\frac{3}{4} বার গুণ করুন।

$$-\frac{9}{2}d+\frac{9}{4}+21d=4$$

21d এ -\frac{9d}{2} যোগ করুন।

$$\frac{33}{2}d+\frac{9}{4}=4$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{9}{4} বাদ দিন।

$$\frac{33}{2}d=\frac{7}{4}$$

\frac{33}{2} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$d=\frac{7}{66}$$

a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4} এ d এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{7}{66} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি a_{1} এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$a_{1}=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{66}+\frac{3}{4}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -\frac{3}{2} কে \frac{7}{66} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$a_{1}=-\frac{7}{44}+\frac{3}{4}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{7}{44} এ \frac{3}{4} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{4\times 21-6\times 3}&-\frac{6}{4\times 21-6\times 3}\\-\frac{3}{4\times 21-6\times 3}&\frac{4}{4\times 21-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}&-\frac{1}{11}\\-\frac{1}{22}&\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}\times 3-\frac{1}{11}\times 4\\-\frac{1}{22}\times 3+\frac{2}{33}\times 4\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{22}\\\frac{7}{66}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট a_{1} এবং d বের করুন।

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

4a_{1} এবং 3a_{1} সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 3 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 4 দিয়ে গুণ করুন।

$$3\times 4a_{1}+3\times 6d=3\times 3,4\times 3a_{1}+4\times 21d=4\times 4$$

সিমপ্লিফাই।

$$12a_{1}+18d=9,12a_{1}+84d=16$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 12a_{1}+18d=9 থেকে 12a_{1}+84d=16 বাদ দিন।

$$12a_{1}-12a_{1}+18d-84d=9-16$$

-12a_{1} এ 12a_{1} যোগ করুন। টার্ম 12a_{1} এবং -12a_{1} বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$18d-84d=9-16$$

-84d এ 18d যোগ করুন।

$$-66d=9-16$$

-16 এ 9 যোগ করুন।

$$-66d=-7$$

-66 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$d=\frac{7}{66}$$

3a_{1}+21d=4 এ d এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{7}{66} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি a_{1} এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$3a_{1}+21\times \frac{7}{66}=4$$

21 কে \frac{7}{66} বার গুণ করুন।

$$3a_{1}+\frac{49}{22}=4$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{49}{22} বাদ দিন।

$$3a_{1}=\frac{39}{22}$$

3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$