{l}{4a+5v=28}{6a+3v=24}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a + 5 v = 28 } \\ { 6 a + 3 v = 24 } \end{array} \right.$$

a, v এর জন্য সমাধান করুন

$$a=2$$

$$v=4$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$4a+5v=28,6a+3v=24$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের a পৃথক করে a-এর জন্য সমাধান করুন।

$$4a+5v=28$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 5v বাদ দিন।

$$4a=-5v+28$$

4 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$a=\frac{1}{4}\left(-5v+28\right)$$

\frac{1}{4} কে -5v+28 বার গুণ করুন।

$$a=-\frac{5}{4}v+7$$

অন্য সমীকরণ 6a+3v=24 এ a এর জন্য -\frac{5v}{4}+7 বিপরীত করু ন।

$$6\left(-\frac{5}{4}v+7\right)+3v=24$$

6 কে -\frac{5v}{4}+7 বার গুণ করুন।

$$-\frac{15}{2}v+42+3v=24$$

3v এ -\frac{15v}{2} যোগ করুন।

$$-\frac{9}{2}v+42=24$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 42 বাদ দিন।

$$-\frac{9}{2}v=-18$$

-\frac{9}{2} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$v=4$$

a=-\frac{5}{4}v+7 এ v এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 4 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি a এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$a=-\frac{5}{4}\times 4+7$$

-\frac{5}{4} কে 4 বার গুণ করুন।

$$a=-5+7$$

-5 এ 7 যোগ করুন।

$$a=2$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$a=2,v=4$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$4a+5v=28,6a+3v=24$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-5\times 6}&-\frac{5}{4\times 3-5\times 6}\\-\frac{6}{4\times 3-5\times 6}&\frac{4}{4\times 3-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{5}{18}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 28+\frac{5}{18}\times 24\\\frac{1}{3}\times 28-\frac{2}{9}\times 24\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট a এবং v বের করুন।

$$a=2,v=4$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$4a+5v=28,6a+3v=24$$

4a এবং 6a সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 6 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 4 দিয়ে গুণ করুন।

$$6\times 4a+6\times 5v=6\times 28,4\times 6a+4\times 3v=4\times 24$$

সিমপ্লিফাই।

$$24a+30v=168,24a+12v=96$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 24a+30v=168 থেকে 24a+12v=96 বাদ দিন।

$$24a-24a+30v-12v=168-96$$

-24a এ 24a যোগ করুন। টার্ম 24a এবং -24a বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$30v-12v=168-96$$

-12v এ 30v যোগ করুন।

$$18v=168-96$$

-96 এ 168 যোগ করুন।

$$18v=72$$

18 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$v=4$$

6a+3v=24 এ v এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 4 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি a এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$6a+3\times 4=24$$

3 কে 4 বার গুণ করুন।

$$6a+12=24$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 12 বাদ দিন।

$$6a=12$$

6 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$a=2$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$a=2,v=4$$