{l}{3y+x=31}{2y+3x=44}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + x = 31 } \\ { 2 y + 3 x = 44 } \end{array} \right.$$

y, x এর জন্য সমাধান করুন

$$x=10$$

$$y=7$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের y পৃথক করে y-এর জন্য সমাধান করুন।

$$3y+x=31$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে x বাদ দিন।

$$3y=-x+31$$

3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{1}{3}\left(-x+31\right)$$

\frac{1}{3} কে -x+31 বার গুণ করুন।

$$y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}$$

অন্য সমীকরণ 2y+3x=44 এ y এর জন্য \frac{-x+31}{3} বিপরীত করু ন।

$$2\left(-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}\right)+3x=44$$

2 কে \frac{-x+31}{3} বার গুণ করুন।

$$-\frac{2}{3}x+\frac{62}{3}+3x=44$$

3x এ -\frac{2x}{3} যোগ করুন।

$$\frac{7}{3}x+\frac{62}{3}=44$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{62}{3} বাদ দিন।

$$\frac{7}{3}x=\frac{70}{3}$$

\frac{7}{3} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$x=10$$

y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3} এ x এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 10 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি y এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$y=-\frac{1}{3}\times 10+\frac{31}{3}$$

-\frac{1}{3} কে 10 বার গুণ করুন।

$$y=\frac{-10+31}{3}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{10}{3} এ \frac{31}{3} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$y=7$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$y=7,x=10$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2}&-\frac{1}{3\times 3-2}\\-\frac{2}{3\times 3-2}&\frac{3}{3\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 31-\frac{1}{7}\times 44\\-\frac{2}{7}\times 31+\frac{3}{7}\times 44\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট y এবং x বের করুন।

$$y=7,x=10$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

3y এবং 2y সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 2 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 3 দিয়ে গুণ করুন।

$$2\times 3y+2x=2\times 31,3\times 2y+3\times 3x=3\times 44$$

সিমপ্লিফাই।

$$6y+2x=62,6y+9x=132$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 6y+2x=62 থেকে 6y+9x=132 বাদ দিন।

$$6y-6y+2x-9x=62-132$$

-6y এ 6y যোগ করুন। টার্ম 6y এবং -6y বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$2x-9x=62-132$$

-9x এ 2x যোগ করুন।

$$-7x=62-132$$

-132 এ 62 যোগ করুন।

$$-7x=-70$$

-7 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=10$$

2y+3x=44 এ x এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 10 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি y এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$2y+3\times 10=44$$

3 কে 10 বার গুণ করুন।

$$2y+30=44$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 30 বাদ দিন।

$$2y=14$$

2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=7$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$y=7,x=10$$