{l}{3x-2y=0}{4x+y=5}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 0 } \\ { 4 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=\frac{10}{11}\approx 0.909090909$$

$$y = \frac{15}{11} = 1\frac{4}{11} \approx 1.363636364$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$3x-2y=0,4x+y=5$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$3x-2y=0$$

সমীকরণের উভয় দিকে 2y যোগ করুন।

$$3x=2y$$

3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{3}\times 2y$$

\frac{1}{3} কে 2y বার গুণ করুন।

$$x=\frac{2}{3}y$$

অন্য সমীকরণ 4x+y=5 এ x এর জন্য \frac{2y}{3} বিপরীত করু ন।

$$4\times \frac{2}{3}y+y=5$$

4 কে \frac{2y}{3} বার গুণ করুন।

$$\frac{8}{3}y+y=5$$

y এ \frac{8y}{3} যোগ করুন।

$$\frac{11}{3}y=5$$

\frac{11}{3} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=\frac{15}{11}$$

x=\frac{2}{3}y এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{15}{11} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{15}{11}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে \frac{2}{3} কে \frac{15}{11} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{10}{11}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{10}{11},y=\frac{15}{11}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$3x-2y=0,4x+y=5$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\4&1\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\times 4\right)}\\-\frac{4}{3-\left(-2\times 4\right)}&\frac{3}{3-\left(-2\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{4}{11}&\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 5\\\frac{3}{11}\times 5\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{11}\\\frac{15}{11}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{10}{11},y=\frac{15}{11}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$3x-2y=0,4x+y=5$$

3x এবং 4x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 4 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 3 দিয়ে গুণ করুন।

$$4\times 3x+4\left(-2\right)y=0,3\times 4x+3y=3\times 5$$

সিমপ্লিফাই।

$$12x-8y=0,12x+3y=15$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 12x-8y=0 থেকে 12x+3y=15 বাদ দিন।

$$12x-12x-8y-3y=-15$$

-12x এ 12x যোগ করুন। টার্ম 12x এবং -12x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$-8y-3y=-15$$

-3y এ -8y যোগ করুন।

$$-11y=-15$$

-11 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{15}{11}$$

4x+y=5 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{15}{11} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$4x+\frac{15}{11}=5$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{15}{11} বাদ দিন।

$$4x=\frac{40}{11}$$

4 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{10}{11}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{10}{11},y=\frac{15}{11}$$