{l}{3x+y=5}{2x+y=10}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 5 } \\ { 2 x + y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=-5$$

$$y=20$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$3x+y=5,2x+y=10$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$3x+y=5$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে y বাদ দিন।

$$3x=-y+5$$

3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

\frac{1}{3} কে -y+5 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

অন্য সমীকরণ 2x+y=10 এ x এর জন্য \frac{-y+5}{3} বিপরীত করু ন।

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)+y=10$$

2 কে \frac{-y+5}{3} বার গুণ করুন।

$$-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}+y=10$$

y এ -\frac{2y}{3} যোগ করুন।

$$\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}=10$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{10}{3} বাদ দিন।

$$\frac{1}{3}y=\frac{20}{3}$$

3 দিয়ে উভয় দিককে গুণ করুন।

$$y=20$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 20 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{1}{3}\times 20+\frac{5}{3}$$

-\frac{1}{3} কে 20 বার গুণ করুন।

$$x=\frac{-20+5}{3}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{20}{3} এ \frac{5}{3} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-5$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-5,y=20$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$3x+y=5,2x+y=10$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{3}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5-10\\-2\times 5+3\times 10\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\20\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=-5,y=20$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$3x+y=5,2x+y=10$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 3x+y=5 থেকে 2x+y=10 বাদ দিন।

$$3x-2x+y-y=5-10$$

-y এ y যোগ করুন। টার্ম y এবং -y বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$3x-2x=5-10$$

-2x এ 3x যোগ করুন।

$$x=5-10$$

-10 এ 5 যোগ করুন।

$$x=-5$$

2x+y=10 এ x এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -5 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি y এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$2\left(-5\right)+y=10$$

2 কে -5 বার গুণ করুন।

$$-10+y=10$$

সমীকরণের উভয় দিকে 10 যোগ করুন।

$$y=20$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-5,y=20$$