{l}{3x+y=10}{4x-y=4}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 10 } \\ { 4 x - y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=2$$

$$y=4$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$3x+y=10,4x-y=4$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$3x+y=10$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে y বাদ দিন।

$$3x=-y+10$$

3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+10\right)$$

\frac{1}{3} কে -y+10 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}$$

অন্য সমীকরণ 4x-y=4 এ x এর জন্য \frac{-y+10}{3} বিপরীত করু ন।

$$4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}\right)-y=4$$

4 কে \frac{-y+10}{3} বার গুণ করুন।

$$-\frac{4}{3}y+\frac{40}{3}-y=4$$

-y এ -\frac{4y}{3} যোগ করুন।

$$-\frac{7}{3}y+\frac{40}{3}=4$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{40}{3} বাদ দিন।

$$-\frac{7}{3}y=-\frac{28}{3}$$

-\frac{7}{3} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=4$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 4 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{1}{3}\times 4+\frac{10}{3}$$

-\frac{1}{3} কে 4 বার গুণ করুন।

$$x=\frac{-4+10}{3}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{4}{3} এ \frac{10}{3} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=2$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=2,y=4$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$3x+y=10,4x-y=4$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-4}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-4}\\-\frac{4}{3\left(-1\right)-4}&\frac{3}{3\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{4}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 10+\frac{1}{7}\times 4\\\frac{4}{7}\times 10-\frac{3}{7}\times 4\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=2,y=4$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$3x+y=10,4x-y=4$$

3x এবং 4x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 4 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 3 দিয়ে গুণ করুন।

$$4\times 3x+4y=4\times 10,3\times 4x+3\left(-1\right)y=3\times 4$$

সিমপ্লিফাই।

$$12x+4y=40,12x-3y=12$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 12x+4y=40 থেকে 12x-3y=12 বাদ দিন।

$$12x-12x+4y+3y=40-12$$

-12x এ 12x যোগ করুন। টার্ম 12x এবং -12x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$4y+3y=40-12$$

3y এ 4y যোগ করুন।

$$7y=40-12$$

-12 এ 40 যোগ করুন।

$$7y=28$$

7 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=4$$

4x-y=4 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 4 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$4x-4=4$$

সমীকরণের উভয় দিকে 4 যোগ করুন।

$$4x=8$$

4 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=2$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=2,y=4$$