{l}{3x+2y=8}{2x+3y=9}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 8 } \\ { 2 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$$

$$y = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2.2$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$3x+2y=8,2x+3y=9$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$3x+2y=8$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 2y বাদ দিন।

$$3x=-2y+8$$

3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+8\right)$$

\frac{1}{3} কে -2y+8 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}$$

অন্য সমীকরণ 2x+3y=9 এ x এর জন্য \frac{-2y+8}{3} বিপরীত করু ন।

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}\right)+3y=9$$

2 কে \frac{-2y+8}{3} বার গুণ করুন।

$$-\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}+3y=9$$

3y এ -\frac{4y}{3} যোগ করুন।

$$\frac{5}{3}y+\frac{16}{3}=9$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{16}{3} বাদ দিন।

$$\frac{5}{3}y=\frac{11}{3}$$

\frac{5}{3} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=\frac{11}{5}$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{11}{5} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{11}{5}+\frac{8}{3}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -\frac{2}{3} কে \frac{11}{5} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-\frac{22}{15}+\frac{8}{3}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{22}{15} এ \frac{8}{3} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{6}{5}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{11}{5}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$3x+2y=8,2x+3y=9$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\times 2}&-\frac{2}{3\times 3-2\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-2\times 2}&\frac{3}{3\times 3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 8-\frac{2}{5}\times 9\\-\frac{2}{5}\times 8+\frac{3}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{11}{5}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$3x+2y=8,2x+3y=9$$

3x এবং 2x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 2 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 3 দিয়ে গুণ করুন।

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 8,3\times 2x+3\times 3y=3\times 9$$

সিমপ্লিফাই।

$$6x+4y=16,6x+9y=27$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 6x+4y=16 থেকে 6x+9y=27 বাদ দিন।

$$6x-6x+4y-9y=16-27$$

-6x এ 6x যোগ করুন। টার্ম 6x এবং -6x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$4y-9y=16-27$$

-9y এ 4y যোগ করুন।

$$-5y=16-27$$

-27 এ 16 যোগ করুন।

$$-5y=-11$$

-5 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{11}{5}$$

2x+3y=9 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{11}{5} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$2x+3\times \frac{11}{5}=9$$

3 কে \frac{11}{5} বার গুণ করুন।

$$2x+\frac{33}{5}=9$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{33}{5} বাদ দিন।

$$2x=\frac{12}{5}$$

2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{6}{5}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{11}{5}$$