{l}{3x+2y=7}{4x+6y=13}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 7 } \\ { 4 x + 6 y = 13 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$y = \frac{11}{10} = 1\frac{1}{10} = 1.1$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$3x+2y=7,4x+6y=13$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$3x+2y=7$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 2y বাদ দিন।

$$3x=-2y+7$$

3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)$$

\frac{1}{3} কে -2y+7 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

অন্য সমীকরণ 4x+6y=13 এ x এর জন্য \frac{-2y+7}{3} বিপরীত করু ন।

$$4\left(-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}\right)+6y=13$$

4 কে \frac{-2y+7}{3} বার গুণ করুন।

$$-\frac{8}{3}y+\frac{28}{3}+6y=13$$

6y এ -\frac{8y}{3} যোগ করুন।

$$\frac{10}{3}y+\frac{28}{3}=13$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{28}{3} বাদ দিন।

$$\frac{10}{3}y=\frac{11}{3}$$

\frac{10}{3} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=\frac{11}{10}$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{11}{10} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{11}{10}+\frac{7}{3}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -\frac{2}{3} কে \frac{11}{10} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-\frac{11}{15}+\frac{7}{3}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{11}{15} এ \frac{7}{3} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{8}{5}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{8}{5},y=\frac{11}{10}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$3x+2y=7,4x+6y=13$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-2\times 4}&-\frac{2}{3\times 6-2\times 4}\\-\frac{4}{3\times 6-2\times 4}&\frac{3}{3\times 6-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 7-\frac{1}{5}\times 13\\-\frac{2}{5}\times 7+\frac{3}{10}\times 13\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\\frac{11}{10}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{8}{5},y=\frac{11}{10}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$3x+2y=7,4x+6y=13$$

3x এবং 4x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 4 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 3 দিয়ে গুণ করুন।

$$4\times 3x+4\times 2y=4\times 7,3\times 4x+3\times 6y=3\times 13$$

সিমপ্লিফাই।

$$12x+8y=28,12x+18y=39$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 12x+8y=28 থেকে 12x+18y=39 বাদ দিন।

$$12x-12x+8y-18y=28-39$$

-12x এ 12x যোগ করুন। টার্ম 12x এবং -12x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$8y-18y=28-39$$

-18y এ 8y যোগ করুন।

$$-10y=28-39$$

-39 এ 28 যোগ করুন।

$$-10y=-11$$

-10 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{11}{10}$$

4x+6y=13 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{11}{10} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$4x+6\times \frac{11}{10}=13$$

6 কে \frac{11}{10} বার গুণ করুন।

$$4x+\frac{33}{5}=13$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{33}{5} বাদ দিন।

$$4x=\frac{32}{5}$$

4 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{8}{5}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{8}{5},y=\frac{11}{10}$$