{l}{3w-2z=5}{w+2z=15}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 3 w - 2 z = 5 } \\ { w + 2 z = 15 } \end{array} \right.$$

w, z এর জন্য সমাধান করুন

$$z=5$$

$$w=5$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের w পৃথক করে w-এর জন্য সমাধান করুন।

$$3w-2z=5$$

সমীকরণের উভয় দিকে 2z যোগ করুন।

$$3w=2z+5$$

3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$w=\frac{1}{3}\left(2z+5\right)$$

\frac{1}{3} কে 2z+5 বার গুণ করুন।

$$w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}$$

অন্য সমীকরণ w+2z=15 এ w এর জন্য \frac{2z+5}{3} বিপরীত করু ন।

$$\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}+2z=15$$

2z এ \frac{2z}{3} যোগ করুন।

$$\frac{8}{3}z+\frac{5}{3}=15$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{5}{3} বাদ দিন।

$$\frac{8}{3}z=\frac{40}{3}$$

\frac{8}{3} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$z=5$$

w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3} এ z এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 5 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি w এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$w=\frac{2}{3}\times 5+\frac{5}{3}$$

\frac{2}{3} কে 5 বার গুণ করুন।

$$w=\frac{10+5}{3}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে \frac{10}{3} এ \frac{5}{3} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$w=5$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$w=5,z=5$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 15\\-\frac{1}{8}\times 5+\frac{3}{8}\times 15\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট w এবং z বের করুন।

$$w=5,z=5$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

3w এবং w সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 1 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 3 দিয়ে গুণ করুন।

$$3w-2z=5,3w+3\times 2z=3\times 15$$

সিমপ্লিফাই।

$$3w-2z=5,3w+6z=45$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 3w-2z=5 থেকে 3w+6z=45 বাদ দিন।

$$3w-3w-2z-6z=5-45$$

-3w এ 3w যোগ করুন। টার্ম 3w এবং -3w বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$-2z-6z=5-45$$

-6z এ -2z যোগ করুন।

$$-8z=5-45$$

-45 এ 5 যোগ করুন।

$$-8z=-40$$

-8 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$z=5$$

w+2z=15 এ z এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 5 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি w এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$w+2\times 5=15$$

2 কে 5 বার গুণ করুন।

$$w+10=15$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 10 বাদ দিন।

$$w=5$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$w=5,z=5$$