{l}{3u+z=15}{u+2z=10}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 3 u + z = 15 } \\ { u + 2 z = 10 } \end{array} \right.$$

u, z এর জন্য সমাধান করুন

$$z=3$$

$$u=4$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$3u+z=15,u+2z=10$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের u পৃথক করে u-এর জন্য সমাধান করুন।

$$3u+z=15$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে z বাদ দিন।

$$3u=-z+15$$

3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$u=\frac{1}{3}\left(-z+15\right)$$

\frac{1}{3} কে -z+15 বার গুণ করুন।

$$u=-\frac{1}{3}z+5$$

অন্য সমীকরণ u+2z=10 এ u এর জন্য -\frac{z}{3}+5 বিপরীত করু ন।

$$-\frac{1}{3}z+5+2z=10$$

2z এ -\frac{z}{3} যোগ করুন।

$$\frac{5}{3}z+5=10$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 5 বাদ দিন।

$$\frac{5}{3}z=5$$

\frac{5}{3} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$z=3$$

u=-\frac{1}{3}z+5 এ z এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 3 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি u এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$u=-\frac{1}{3}\times 3+5$$

-\frac{1}{3} কে 3 বার গুণ করুন।

$$u=-1+5$$

-1 এ 5 যোগ করুন।

$$u=4$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$u=4,z=3$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$3u+z=15,u+2z=10$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-1}&-\frac{1}{3\times 2-1}\\-\frac{1}{3\times 2-1}&\frac{3}{3\times 2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 15-\frac{1}{5}\times 10\\-\frac{1}{5}\times 15+\frac{3}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট u এবং z বের করুন।

$$u=4,z=3$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$3u+z=15,u+2z=10$$

3u এবং u সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 1 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 3 দিয়ে গুণ করুন।

$$3u+z=15,3u+3\times 2z=3\times 10$$

সিমপ্লিফাই।

$$3u+z=15,3u+6z=30$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 3u+z=15 থেকে 3u+6z=30 বাদ দিন।

$$3u-3u+z-6z=15-30$$

-3u এ 3u যোগ করুন। টার্ম 3u এবং -3u বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$z-6z=15-30$$

-6z এ z যোগ করুন।

$$-5z=15-30$$

-30 এ 15 যোগ করুন।

$$-5z=-15$$

-5 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$z=3$$

u+2z=10 এ z এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 3 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি u এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$u+2\times 3=10$$

2 কে 3 বার গুণ করুন।

$$u+6=10$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 6 বাদ দিন।

$$u=4$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$u=4,z=3$$