{l}{3c+5z=-15}{5c+3z=-9}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 3 c + 5 z = - 15 } \\ { 5 c + 3 z = - 9 } \end{array} \right.$$

c, z এর জন্য সমাধান করুন

$$z=-3$$

$$c=0$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের c পৃথক করে c-এর জন্য সমাধান করুন।

$$3c+5z=-15$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 5z বাদ দিন।

$$3c=-5z-15$$

3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$c=\frac{1}{3}\left(-5z-15\right)$$

\frac{1}{3} কে -5z-15 বার গুণ করুন।

$$c=-\frac{5}{3}z-5$$

অন্য সমীকরণ 5c+3z=-9 এ c এর জন্য -\frac{5z}{3}-5 বিপরীত করু ন।

$$5\left(-\frac{5}{3}z-5\right)+3z=-9$$

5 কে -\frac{5z}{3}-5 বার গুণ করুন।

$$-\frac{25}{3}z-25+3z=-9$$

3z এ -\frac{25z}{3} যোগ করুন।

$$-\frac{16}{3}z-25=-9$$

সমীকরণের উভয় দিকে 25 যোগ করুন।

$$-\frac{16}{3}z=16$$

-\frac{16}{3} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$z=-3$$

c=-\frac{5}{3}z-5 এ z এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -3 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি c এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$c=-\frac{5}{3}\left(-3\right)-5$$

-\frac{5}{3} কে -3 বার গুণ করুন।

$$c=5-5$$

5 এ -5 যোগ করুন।

$$c=0$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$c=0,z=-3$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}&\frac{3}{3\times 3-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\\\frac{5}{16}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}\left(-15\right)+\frac{5}{16}\left(-9\right)\\\frac{5}{16}\left(-15\right)-\frac{3}{16}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট c এবং z বের করুন।

$$c=0,z=-3$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

3c এবং 5c সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 5 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 3 দিয়ে গুণ করুন।

$$5\times 3c+5\times 5z=5\left(-15\right),3\times 5c+3\times 3z=3\left(-9\right)$$

সিমপ্লিফাই।

$$15c+25z=-75,15c+9z=-27$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 15c+25z=-75 থেকে 15c+9z=-27 বাদ দিন।

$$15c-15c+25z-9z=-75+27$$

-15c এ 15c যোগ করুন। টার্ম 15c এবং -15c বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$25z-9z=-75+27$$

-9z এ 25z যোগ করুন।

$$16z=-75+27$$

27 এ -75 যোগ করুন।

$$16z=-48$$

16 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$z=-3$$

5c+3z=-9 এ z এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -3 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি c এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$5c+3\left(-3\right)=-9$$

3 কে -3 বার গুণ করুন।

$$5c-9=-9$$

সমীকরণের উভয় দিকে 9 যোগ করুন।

$$5c=0$$

5 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$c=0$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$c=0,z=-3$$