{l}{23x+7y=13}{101x+73y=1}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 23 x + 7 y = 13 } \\ { 101 x + 73 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=\frac{157}{162}\approx 0.969135802$$

$$y = -\frac{215}{162} = -1\frac{53}{162} \approx -1.327160494$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$23x+7y=13,101x+73y=1$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$23x+7y=13$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 7y বাদ দিন।

$$23x=-7y+13$$

23 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{23}\left(-7y+13\right)$$

\frac{1}{23} কে -7y+13 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{7}{23}y+\frac{13}{23}$$

অন্য সমীকরণ 101x+73y=1 এ x এর জন্য \frac{-7y+13}{23} বিপরীত করু ন।

$$101\left(-\frac{7}{23}y+\frac{13}{23}\right)+73y=1$$

101 কে \frac{-7y+13}{23} বার গুণ করুন।

$$-\frac{707}{23}y+\frac{1313}{23}+73y=1$$

73y এ -\frac{707y}{23} যোগ করুন।

$$\frac{972}{23}y+\frac{1313}{23}=1$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{1313}{23} বাদ দিন।

$$\frac{972}{23}y=-\frac{1290}{23}$$

\frac{972}{23} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=-\frac{215}{162}$$

x=-\frac{7}{23}y+\frac{13}{23} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{215}{162} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{7}{23}\left(-\frac{215}{162}\right)+\frac{13}{23}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -\frac{7}{23} কে -\frac{215}{162} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{1505}{3726}+\frac{13}{23}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে \frac{1505}{3726} এ \frac{13}{23} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{157}{162}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{157}{162},y=-\frac{215}{162}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$23x+7y=13,101x+73y=1$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}23&7\\101&73\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}23&7\\101&73\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}23&7\\101&73\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23&7\\101&73\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&7\\101&73\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&7\\101&73\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&7\\101&73\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{73}{23\times 73-7\times 101}&-\frac{7}{23\times 73-7\times 101}\\-\frac{101}{23\times 73-7\times 101}&\frac{23}{23\times 73-7\times 101}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{73}{972}&-\frac{7}{972}\\-\frac{101}{972}&\frac{23}{972}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{73}{972}\times 13-\frac{7}{972}\\-\frac{101}{972}\times 13+\frac{23}{972}\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{157}{162}\\-\frac{215}{162}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{157}{162},y=-\frac{215}{162}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$23x+7y=13,101x+73y=1$$

23x এবং 101x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 101 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 23 দিয়ে গুণ করুন।

$$101\times 23x+101\times 7y=101\times 13,23\times 101x+23\times 73y=23$$

সিমপ্লিফাই।

$$2323x+707y=1313,2323x+1679y=23$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 2323x+707y=1313 থেকে 2323x+1679y=23 বাদ দিন।

$$2323x-2323x+707y-1679y=1313-23$$

-2323x এ 2323x যোগ করুন। টার্ম 2323x এবং -2323x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$707y-1679y=1313-23$$

-1679y এ 707y যোগ করুন।

$$-972y=1313-23$$

-23 এ 1313 যোগ করুন।

$$-972y=1290$$

-972 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=-\frac{215}{162}$$

101x+73y=1 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{215}{162} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$101x+73\left(-\frac{215}{162}\right)=1$$

73 কে -\frac{215}{162} বার গুণ করুন।

$$101x-\frac{15695}{162}=1$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{15695}{162} যোগ করুন।

$$101x=\frac{15857}{162}$$

101 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{157}{162}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{157}{162},y=-\frac{215}{162}$$