{l}{2x-5y=10}{4x+y=120}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 10 } \\ { 4 x + y = 120 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x = \frac{305}{11} = 27\frac{8}{11} \approx 27.727272727$$

$$y = \frac{100}{11} = 9\frac{1}{11} \approx 9.090909091$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$2x-5y=10,4x+y=120$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$2x-5y=10$$

সমীকরণের উভয় দিকে 5y যোগ করুন।

$$2x=5y+10$$

2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+10\right)$$

\frac{1}{2} কে 10+5y বার গুণ করুন।

$$x=\frac{5}{2}y+5$$

অন্য সমীকরণ 4x+y=120 এ x এর জন্য 5+\frac{5y}{2} বিপরীত করু ন।

$$4\left(\frac{5}{2}y+5\right)+y=120$$

4 কে 5+\frac{5y}{2} বার গুণ করুন।

$$10y+20+y=120$$

y এ 10y যোগ করুন।

$$11y+20=120$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 20 বাদ দিন।

$$11y=100$$

11 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{100}{11}$$

x=\frac{5}{2}y+5 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{100}{11} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=\frac{5}{2}\times \frac{100}{11}+5$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে \frac{5}{2} কে \frac{100}{11} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{250}{11}+5$$

\frac{250}{11} এ 5 যোগ করুন।

$$x=\frac{305}{11}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{305}{11},y=\frac{100}{11}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$2x-5y=10,4x+y=120$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\120\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\120\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\120\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\120\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\120\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\120\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}\times 10+\frac{5}{22}\times 120\\-\frac{2}{11}\times 10+\frac{1}{11}\times 120\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{305}{11}\\\frac{100}{11}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{305}{11},y=\frac{100}{11}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$2x-5y=10,4x+y=120$$

2x এবং 4x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 4 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 2 দিয়ে গুণ করুন।

$$4\times 2x+4\left(-5\right)y=4\times 10,2\times 4x+2y=2\times 120$$

সিমপ্লিফাই।

$$8x-20y=40,8x+2y=240$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 8x-20y=40 থেকে 8x+2y=240 বাদ দিন।

$$8x-8x-20y-2y=40-240$$

-8x এ 8x যোগ করুন। টার্ম 8x এবং -8x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$-20y-2y=40-240$$

-2y এ -20y যোগ করুন।

$$-22y=40-240$$

-240 এ 40 যোগ করুন।

$$-22y=-200$$

-22 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{100}{11}$$

4x+y=120 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{100}{11} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$4x+\frac{100}{11}=120$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{100}{11} বাদ দিন।

$$4x=\frac{1220}{11}$$

4 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{305}{11}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{305}{11},y=\frac{100}{11}$$