{l}{2x+y=35}{x-2y=-20}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 35 } \\ { x - 2 y = - 20 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=10$$

$$y=15$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$2x+y=35,x-2y=-20$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$2x+y=35$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে y বাদ দিন।

$$2x=-y+35$$

2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+35\right)$$

\frac{1}{2} কে -y+35 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{35}{2}$$

অন্য সমীকরণ x-2y=-20 এ x এর জন্য \frac{-y+35}{2} বিপরীত করু ন।

$$-\frac{1}{2}y+\frac{35}{2}-2y=-20$$

-2y এ -\frac{y}{2} যোগ করুন।

$$-\frac{5}{2}y+\frac{35}{2}=-20$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{35}{2} বাদ দিন।

$$-\frac{5}{2}y=-\frac{75}{2}$$

-\frac{5}{2} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=15$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{35}{2} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 15 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{1}{2}\times 15+\frac{35}{2}$$

-\frac{1}{2} কে 15 বার গুণ করুন।

$$x=\frac{-15+35}{2}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{15}{2} এ \frac{35}{2} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=10$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=10,y=15$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$2x+y=35,x-2y=-20$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\-20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\1&-2\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-20\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-20\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-2\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-1}&\frac{2}{2\left(-2\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-20\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-20\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 35+\frac{1}{5}\left(-20\right)\\\frac{1}{5}\times 35-\frac{2}{5}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=10,y=15$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$2x+y=35,x-2y=-20$$

2x এবং x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 1 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 2 দিয়ে গুণ করুন।

$$2x+y=35,2x+2\left(-2\right)y=2\left(-20\right)$$

সিমপ্লিফাই।

$$2x+y=35,2x-4y=-40$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 2x+y=35 থেকে 2x-4y=-40 বাদ দিন।

$$2x-2x+y+4y=35+40$$

-2x এ 2x যোগ করুন। টার্ম 2x এবং -2x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$y+4y=35+40$$

4y এ y যোগ করুন।

$$5y=35+40$$

40 এ 35 যোগ করুন।

$$5y=75$$

5 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=15$$

x-2y=-20 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 15 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x-2\times 15=-20$$

-2 কে 15 বার গুণ করুন।

$$x-30=-20$$

সমীকরণের উভয় দিকে 30 যোগ করুন।

$$x=10$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=10,y=15$$