{l}{2x+5y=259}{199x-2y=1127}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 259 } \\ { 199 x - 2 y = 1127 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x = \frac{2051}{333} = 6\frac{53}{333} \approx 6.159159159$$

$$y = \frac{16429}{333} = 49\frac{112}{333} \approx 49.336336336$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$2x+5y=259$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 5y বাদ দিন।

$$2x=-5y+259$$

2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+259\right)$$

\frac{1}{2} কে -5y+259 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}$$

অন্য সমীকরণ 199x-2y=1127 এ x এর জন্য \frac{-5y+259}{2} বিপরীত করু ন।

$$199\left(-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}\right)-2y=1127$$

199 কে \frac{-5y+259}{2} বার গুণ করুন।

$$-\frac{995}{2}y+\frac{51541}{2}-2y=1127$$

-2y এ -\frac{995y}{2} যোগ করুন।

$$-\frac{999}{2}y+\frac{51541}{2}=1127$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{51541}{2} বাদ দিন।

$$-\frac{999}{2}y=-\frac{49287}{2}$$

-\frac{999}{2} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=\frac{16429}{333}$$

x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{16429}{333} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{16429}{333}+\frac{259}{2}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -\frac{5}{2} কে \frac{16429}{333} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-\frac{82145}{666}+\frac{259}{2}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{82145}{666} এ \frac{259}{2} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{2051}{333}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 199}\\-\frac{199}{2\left(-2\right)-5\times 199}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}&\frac{5}{999}\\\frac{199}{999}&-\frac{2}{999}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}\times 259+\frac{5}{999}\times 1127\\\frac{199}{999}\times 259-\frac{2}{999}\times 1127\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2051}{333}\\\frac{16429}{333}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

2x এবং 199x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 199 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 2 দিয়ে গুণ করুন।

$$199\times 2x+199\times 5y=199\times 259,2\times 199x+2\left(-2\right)y=2\times 1127$$

সিমপ্লিফাই।

$$398x+995y=51541,398x-4y=2254$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 398x+995y=51541 থেকে 398x-4y=2254 বাদ দিন।

$$398x-398x+995y+4y=51541-2254$$

-398x এ 398x যোগ করুন। টার্ম 398x এবং -398x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$995y+4y=51541-2254$$

4y এ 995y যোগ করুন।

$$999y=51541-2254$$

-2254 এ 51541 যোগ করুন।

$$999y=49287$$

999 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{16429}{333}$$

199x-2y=1127 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{16429}{333} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$199x-2\times \frac{16429}{333}=1127$$

-2 কে \frac{16429}{333} বার গুণ করুন।

$$199x-\frac{32858}{333}=1127$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{32858}{333} যোগ করুন।

$$199x=\frac{408149}{333}$$

199 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{2051}{333}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$