{l}{2x+5y=17}{9x+10y=21}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 17 } \\ { 9 x + 10 y = 21 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x = -\frac{13}{5} = -2\frac{3}{5} = -2.6$$

$$y = \frac{111}{25} = 4\frac{11}{25} = 4.44$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$2x+5y=17,9x+10y=21$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$2x+5y=17$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 5y বাদ দিন।

$$2x=-5y+17$$

2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+17\right)$$

\frac{1}{2} কে -5y+17 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}$$

অন্য সমীকরণ 9x+10y=21 এ x এর জন্য \frac{-5y+17}{2} বিপরীত করু ন।

$$9\left(-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}\right)+10y=21$$

9 কে \frac{-5y+17}{2} বার গুণ করুন।

$$-\frac{45}{2}y+\frac{153}{2}+10y=21$$

10y এ -\frac{45y}{2} যোগ করুন।

$$-\frac{25}{2}y+\frac{153}{2}=21$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{153}{2} বাদ দিন।

$$-\frac{25}{2}y=-\frac{111}{2}$$

-\frac{25}{2} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=\frac{111}{25}$$

x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{111}{25} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{111}{25}+\frac{17}{2}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -\frac{5}{2} কে \frac{111}{25} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-\frac{111}{10}+\frac{17}{2}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{111}{10} এ \frac{17}{2} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-\frac{13}{5}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-\frac{13}{5},y=\frac{111}{25}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$2x+5y=17,9x+10y=21$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}2&5\\9&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\21\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&5\\9&10\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\9&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\9&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\9&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\21\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\9&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\21\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\9&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{2\times 10-5\times 9}&-\frac{5}{2\times 10-5\times 9}\\-\frac{9}{2\times 10-5\times 9}&\frac{2}{2\times 10-5\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\21\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{9}{25}&-\frac{2}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\21\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 17+\frac{1}{5}\times 21\\\frac{9}{25}\times 17-\frac{2}{25}\times 21\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{5}\\\frac{111}{25}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=-\frac{13}{5},y=\frac{111}{25}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$2x+5y=17,9x+10y=21$$

2x এবং 9x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 9 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 2 দিয়ে গুণ করুন।

$$9\times 2x+9\times 5y=9\times 17,2\times 9x+2\times 10y=2\times 21$$

সিমপ্লিফাই।

$$18x+45y=153,18x+20y=42$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 18x+45y=153 থেকে 18x+20y=42 বাদ দিন।

$$18x-18x+45y-20y=153-42$$

-18x এ 18x যোগ করুন। টার্ম 18x এবং -18x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$45y-20y=153-42$$

-20y এ 45y যোগ করুন।

$$25y=153-42$$

-42 এ 153 যোগ করুন।

$$25y=111$$

25 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{111}{25}$$

9x+10y=21 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{111}{25} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$9x+10\times \frac{111}{25}=21$$

10 কে \frac{111}{25} বার গুণ করুন।

$$9x+\frac{222}{5}=21$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{222}{5} বাদ দিন।

$$9x=-\frac{117}{5}$$

9 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=-\frac{13}{5}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-\frac{13}{5},y=\frac{111}{25}$$