{l}{2x+3y=15}{5x+4y=13}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 15 } \\ { 5 x + 4 y = 13 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=-3$$

$$y=7$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$2x+3y=15,5x+4y=13$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$2x+3y=15$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 3y বাদ দিন।

$$2x=-3y+15$$

2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+15\right)$$

\frac{1}{2} কে -3y+15 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}$$

অন্য সমীকরণ 5x+4y=13 এ x এর জন্য \frac{-3y+15}{2} বিপরীত করু ন।

$$5\left(-\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}\right)+4y=13$$

5 কে \frac{-3y+15}{2} বার গুণ করুন।

$$-\frac{15}{2}y+\frac{75}{2}+4y=13$$

4y এ -\frac{15y}{2} যোগ করুন।

$$-\frac{7}{2}y+\frac{75}{2}=13$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{75}{2} বাদ দিন।

$$-\frac{7}{2}y=-\frac{49}{2}$$

-\frac{7}{2} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=7$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{15}{2} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 7 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{3}{2}\times 7+\frac{15}{2}$$

-\frac{3}{2} কে 7 বার গুণ করুন।

$$x=\frac{-21+15}{2}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{21}{2} এ \frac{15}{2} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-3$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-3,y=7$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$2x+3y=15,5x+4y=13$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\13\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\13\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 4-3\times 5}&\frac{2}{2\times 4-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\13\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{5}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\13\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}\times 15+\frac{3}{7}\times 13\\\frac{5}{7}\times 15-\frac{2}{7}\times 13\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=-3,y=7$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$2x+3y=15,5x+4y=13$$

2x এবং 5x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 5 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 2 দিয়ে গুণ করুন।

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 15,2\times 5x+2\times 4y=2\times 13$$

সিমপ্লিফাই।

$$10x+15y=75,10x+8y=26$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 10x+15y=75 থেকে 10x+8y=26 বাদ দিন।

$$10x-10x+15y-8y=75-26$$

-10x এ 10x যোগ করুন। টার্ম 10x এবং -10x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$15y-8y=75-26$$

-8y এ 15y যোগ করুন।

$$7y=75-26$$

-26 এ 75 যোগ করুন।

$$7y=49$$

7 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=7$$

5x+4y=13 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 7 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$5x+4\times 7=13$$

4 কে 7 বার গুণ করুন।

$$5x+28=13$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 28 বাদ দিন।

$$5x=-15$$

5 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=-3$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-3,y=7$$