{l}{2w+1n=5050}{3w+2n=9050}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 2 w + 1 n = 5050 } \\ { 3 w + 2 n = 9050 } \end{array} \right.$$

w, n এর জন্য সমাধান করুন

$$w=1050$$

$$n=2950$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$2w+n=5050,3w+2n=9050$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের w পৃথক করে w-এর জন্য সমাধান করুন।

$$2w+n=5050$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে n বাদ দিন।

$$2w=-n+5050$$

2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$w=\frac{1}{2}\left(-n+5050\right)$$

\frac{1}{2} কে -n+5050 বার গুণ করুন।

$$w=-\frac{1}{2}n+2525$$

অন্য সমীকরণ 3w+2n=9050 এ w এর জন্য -\frac{n}{2}+2525 বিপরীত করু ন।

$$3\left(-\frac{1}{2}n+2525\right)+2n=9050$$

3 কে -\frac{n}{2}+2525 বার গুণ করুন।

$$-\frac{3}{2}n+7575+2n=9050$$

2n এ -\frac{3n}{2} যোগ করুন।

$$\frac{1}{2}n+7575=9050$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 7575 বাদ দিন।

$$\frac{1}{2}n=1475$$

2 দিয়ে উভয় দিককে গুণ করুন।

$$n=2950$$

w=-\frac{1}{2}n+2525 এ n এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 2950 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি w এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$w=-\frac{1}{2}\times 2950+2525$$

-\frac{1}{2} কে 2950 বার গুণ করুন।

$$w=-1475+2525$$

-1475 এ 2525 যোগ করুন।

$$w=1050$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$w=1050,n=2950$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$2w+n=5050,3w+2n=9050$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{1}{2\times 2-3}\\-\frac{3}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 5050-9050\\-3\times 5050+2\times 9050\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1050\\2950\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট w এবং n বের করুন।

$$w=1050,n=2950$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$2w+n=5050,3w+2n=9050$$

2w এবং 3w সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 3 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 2 দিয়ে গুণ করুন।

$$3\times 2w+3n=3\times 5050,2\times 3w+2\times 2n=2\times 9050$$

সিমপ্লিফাই।

$$6w+3n=15150,6w+4n=18100$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 6w+3n=15150 থেকে 6w+4n=18100 বাদ দিন।

$$6w-6w+3n-4n=15150-18100$$

-6w এ 6w যোগ করুন। টার্ম 6w এবং -6w বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$3n-4n=15150-18100$$

-4n এ 3n যোগ করুন।

$$-n=15150-18100$$

-18100 এ 15150 যোগ করুন।

$$-n=-2950$$

-1 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$n=2950$$

3w+2n=9050 এ n এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 2950 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি w এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$3w+2\times 2950=9050$$

2 কে 2950 বার গুণ করুন।

$$3w+5900=9050$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 5900 বাদ দিন।

$$3w=3150$$

3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$w=1050$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$w=1050,n=2950$$