{l}{2n-3m=1}{m+n=3}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 2 n - 3 m = 1 } \\ { m + n = 3 } \end{array} \right.$$

n, m এর জন্য সমাধান করুন

$$n=2$$

$$m=1$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$2n-3m=1,n+m=3$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের n পৃথক করে n-এর জন্য সমাধান করুন।

$$2n-3m=1$$

সমীকরণের উভয় দিকে 3m যোগ করুন।

$$2n=3m+1$$

2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$n=\frac{1}{2}\left(3m+1\right)$$

\frac{1}{2} কে 3m+1 বার গুণ করুন।

$$n=\frac{3}{2}m+\frac{1}{2}$$

অন্য সমীকরণ n+m=3 এ n এর জন্য \frac{3m+1}{2} বিপরীত করু ন।

$$\frac{3}{2}m+\frac{1}{2}+m=3$$

m এ \frac{3m}{2} যোগ করুন।

$$\frac{5}{2}m+\frac{1}{2}=3$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{1}{2} বাদ দিন।

$$\frac{5}{2}m=\frac{5}{2}$$

\frac{5}{2} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$m=1$$

n=\frac{3}{2}m+\frac{1}{2} এ m এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 1 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি n এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$n=\frac{3+1}{2}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে \frac{3}{2} এ \frac{1}{2} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$n=2$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$n=2,m=1$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$2n-3m=1,n+m=3$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}+\frac{3}{5}\times 3\\-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট n এবং m বের করুন।

$$n=2,m=1$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$2n-3m=1,n+m=3$$

2n এবং n সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 1 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 2 দিয়ে গুণ করুন।

$$2n-3m=1,2n+2m=2\times 3$$

সিমপ্লিফাই।

$$2n-3m=1,2n+2m=6$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 2n-3m=1 থেকে 2n+2m=6 বাদ দিন।

$$2n-2n-3m-2m=1-6$$

-2n এ 2n যোগ করুন। টার্ম 2n এবং -2n বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$-3m-2m=1-6$$

-2m এ -3m যোগ করুন।

$$-5m=1-6$$

-6 এ 1 যোগ করুন।

$$-5m=-5$$

-5 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$m=1$$

n+m=3 এ m এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 1 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি n এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$n+1=3$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 1 বাদ দিন।

$$n=2$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$n=2,m=1$$