{l}{2bx+ay=2ab}{bx-ay=4ab}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 2 b x + a y = 2 a b } \\ { b x - a y = 4 a b } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2a\text{, }y=-2b\text{, }&\text{unconditionally}\\x=0\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=0\text{, }&b=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$2bx+ay=2ab$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে ay বাদ দিন।

$$2bx=\left(-a\right)y+2ab$$

2b দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{2b}\left(\left(-a\right)y+2ab\right)$$

\frac{1}{2b} কে a\left(-y+2b\right) বার গুণ করুন।

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a$$

অন্য সমীকরণ bx+\left(-a\right)y=4ab এ x এর জন্য a-\frac{ay}{2b} বিপরীত করু ন।

$$b\left(\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a\right)+\left(-a\right)y=4ab$$

b কে a-\frac{ay}{2b} বার গুণ করুন।

$$\left(-\frac{a}{2}\right)y+ab+\left(-a\right)y=4ab$$

-ay এ -\frac{ay}{2} যোগ করুন।

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y+ab=4ab$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে ba বাদ দিন।

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y=3ab$$

-\frac{3a}{2} দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=-2b$$

x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -2b ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)\left(-2b\right)+a$$

-\frac{a}{2b} কে -2b বার গুণ করুন।

$$x=a+a$$

a এ a যোগ করুন।

$$x=2a$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=2a,y=-2b$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}&-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}\\-\frac{b}{2b\left(-a\right)-ab}&\frac{2b}{2b\left(-a\right)-ab}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}&\frac{1}{3b}\\\frac{1}{3a}&-\frac{2}{3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}\times 2ab+\frac{1}{3b}\times 4ab\\\frac{1}{3a}\times 2ab+\left(-\frac{2}{3a}\right)\times 4ab\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\-2b\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=2a,y=-2b$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

2bx এবং bx সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে b দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 2b দিয়ে গুণ করুন।

$$b\times 2bx+bay=b\times 2ab,2bbx+2b\left(-a\right)y=2b\times 4ab$$

সিমপ্লিফাই।

$$2b^{2}x+aby=2ab^{2},2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 2b^{2}x+aby=2ab^{2} থেকে 2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2} বাদ দিন।

$$2b^{2}x+\left(-2b^{2}\right)x+aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

-2b^{2}x এ 2b^{2}x যোগ করুন। টার্ম 2b^{2}x এবং -2b^{2}x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

2bay এ bay যোগ করুন।

$$3aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

-8ab^{2} এ 2ab^{2} যোগ করুন।

$$3aby=-6ab^{2}$$

3ba দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=-2b$$

bx+\left(-a\right)y=4ab এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -2b ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$bx+\left(-a\right)\left(-2b\right)=4ab$$

-a কে -2b বার গুণ করুন।

$$bx+2ab=4ab$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 2ba বাদ দিন।

$$bx=2ab$$

b দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=2a$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=2a,y=-2b$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2a\text{, }y=-2b\text{, }&\text{unconditionally}\\x=0\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=0\text{, }&b=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$2bx+ay=2ab$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে ay বাদ দিন।

$$2bx=\left(-a\right)y+2ab$$

2b দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{2b}\left(\left(-a\right)y+2ab\right)$$

\frac{1}{2b} কে a\left(-y+2b\right) বার গুণ করুন।

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a$$

অন্য সমীকরণ bx+\left(-a\right)y=4ab এ x এর জন্য a-\frac{ay}{2b} বিপরীত করু ন।

$$b\left(\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a\right)+\left(-a\right)y=4ab$$

b কে a-\frac{ay}{2b} বার গুণ করুন।

$$\left(-\frac{a}{2}\right)y+ab+\left(-a\right)y=4ab$$

-ay এ -\frac{ay}{2} যোগ করুন।

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y+ab=4ab$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে ba বাদ দিন।

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y=3ab$$

-\frac{3a}{2} দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=-2b$$

x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -2b ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)\left(-2b\right)+a$$

-\frac{a}{2b} কে -2b বার গুণ করুন।

$$x=a+a$$

a এ a যোগ করুন।

$$x=2a$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=2a,y=-2b$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}&-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}\\-\frac{b}{2b\left(-a\right)-ab}&\frac{2b}{2b\left(-a\right)-ab}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}&\frac{1}{3b}\\\frac{1}{3a}&-\frac{2}{3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}\times 2ab+\frac{1}{3b}\times 4ab\\\frac{1}{3a}\times 2ab+\left(-\frac{2}{3a}\right)\times 4ab\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\-2b\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=2a,y=-2b$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

2bx এবং bx সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে b দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 2b দিয়ে গুণ করুন।

$$b\times 2bx+bay=b\times 2ab,2bbx+2b\left(-a\right)y=2b\times 4ab$$

সিমপ্লিফাই।

$$2b^{2}x+aby=2ab^{2},2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 2b^{2}x+aby=2ab^{2} থেকে 2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2} বাদ দিন।

$$2b^{2}x+\left(-2b^{2}\right)x+aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

-2b^{2}x এ 2b^{2}x যোগ করুন। টার্ম 2b^{2}x এবং -2b^{2}x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

2bay এ bay যোগ করুন।

$$3aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

-8ab^{2} এ 2ab^{2} যোগ করুন।

$$3aby=-6ab^{2}$$

3ba দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=-2b$$

bx+\left(-a\right)y=4ab এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -2b ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$bx+\left(-a\right)\left(-2b\right)=4ab$$

-a কে -2b বার গুণ করুন।

$$bx+2ab=4ab$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 2ba বাদ দিন।

$$bx=2ab$$

b দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=2a$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=2a,y=-2b$$