{l}{12x+4y=6}{9x+16y=8}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x + 4 y = 6 } \\ { 9 x + 16 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=\frac{16}{39}\approx 0.41025641$$

$$y=\frac{7}{26}\approx 0.269230769$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$12x+4y=6$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 4y বাদ দিন।

$$12x=-4y+6$$

12 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{12}\left(-4y+6\right)$$

\frac{1}{12} কে -4y+6 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}$$

অন্য সমীকরণ 9x+16y=8 এ x এর জন্য -\frac{y}{3}+\frac{1}{2} বিপরীত করু ন।

$$9\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}\right)+16y=8$$

9 কে -\frac{y}{3}+\frac{1}{2} বার গুণ করুন।

$$-3y+\frac{9}{2}+16y=8$$

16y এ -3y যোগ করুন।

$$13y+\frac{9}{2}=8$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{9}{2} বাদ দিন।

$$13y=\frac{7}{2}$$

13 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{7}{26}$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{7}{26} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{7}{26}+\frac{1}{2}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -\frac{1}{3} কে \frac{7}{26} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-\frac{7}{78}+\frac{1}{2}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{7}{78} এ \frac{1}{2} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{16}{39}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{12\times 16-4\times 9}&-\frac{4}{12\times 16-4\times 9}\\-\frac{9}{12\times 16-4\times 9}&\frac{12}{12\times 16-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&-\frac{1}{39}\\-\frac{3}{52}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 6-\frac{1}{39}\times 8\\-\frac{3}{52}\times 6+\frac{1}{13}\times 8\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{39}\\\frac{7}{26}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

12x এবং 9x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 9 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 12 দিয়ে গুণ করুন।

$$9\times 12x+9\times 4y=9\times 6,12\times 9x+12\times 16y=12\times 8$$

সিমপ্লিফাই।

$$108x+36y=54,108x+192y=96$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 108x+36y=54 থেকে 108x+192y=96 বাদ দিন।

$$108x-108x+36y-192y=54-96$$

-108x এ 108x যোগ করুন। টার্ম 108x এবং -108x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$36y-192y=54-96$$

-192y এ 36y যোগ করুন।

$$-156y=54-96$$

-96 এ 54 যোগ করুন।

$$-156y=-42$$

-156 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{7}{26}$$

9x+16y=8 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{7}{26} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$9x+16\times \frac{7}{26}=8$$

16 কে \frac{7}{26} বার গুণ করুন।

$$9x+\frac{56}{13}=8$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{56}{13} বাদ দিন।

$$9x=\frac{48}{13}$$

9 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{16}{39}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$