{l}{-3x+15y=59}{3x+4y=17}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 15 y = 59 } \\ { 3 x + 4 y = 17 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=4$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$-3x+15y=59$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 15y বাদ দিন।

$$-3x=-15y+59$$

-3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=-\frac{1}{3}\left(-15y+59\right)$$

-\frac{1}{3} কে -15y+59 বার গুণ করুন।

$$x=5y-\frac{59}{3}$$

অন্য সমীকরণ 3x+4y=17 এ x এর জন্য 5y-\frac{59}{3} বিপরীত করু ন।

$$3\left(5y-\frac{59}{3}\right)+4y=17$$

3 কে 5y-\frac{59}{3} বার গুণ করুন।

$$15y-59+4y=17$$

4y এ 15y যোগ করুন।

$$19y-59=17$$

সমীকরণের উভয় দিকে 59 যোগ করুন।

$$19y=76$$

19 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=4$$

x=5y-\frac{59}{3} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 4 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=5\times 4-\frac{59}{3}$$

5 কে 4 বার গুণ করুন।

$$x=20-\frac{59}{3}$$

20 এ -\frac{59}{3} যোগ করুন।

$$x=\frac{1}{3}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{1}{3},y=4$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-3\times 4-15\times 3}&-\frac{15}{-3\times 4-15\times 3}\\-\frac{3}{-3\times 4-15\times 3}&-\frac{3}{-3\times 4-15\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{57}&\frac{5}{19}\\\frac{1}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{57}\times 59+\frac{5}{19}\times 17\\\frac{1}{19}\times 59+\frac{1}{19}\times 17\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\4\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{1}{3},y=4$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

-3x এবং 3x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 3 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে -3 দিয়ে গুণ করুন।

$$3\left(-3\right)x+3\times 15y=3\times 59,-3\times 3x-3\times 4y=-3\times 17$$

সিমপ্লিফাই।

$$-9x+45y=177,-9x-12y=-51$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে -9x+45y=177 থেকে -9x-12y=-51 বাদ দিন।

$$-9x+9x+45y+12y=177+51$$

9x এ -9x যোগ করুন। টার্ম -9x এবং 9x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$45y+12y=177+51$$

12y এ 45y যোগ করুন।

$$57y=177+51$$

51 এ 177 যোগ করুন।

$$57y=228$$

57 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=4$$

3x+4y=17 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 4 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$3x+4\times 4=17$$

4 কে 4 বার গুণ করুন।

$$3x+16=17$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 16 বাদ দিন।

$$3x=1$$

3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{3}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{1}{3},y=4$$