{l}{-10x+20y=460}{30x+60y=1620}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x + 20 y = 460 } \\ { 30 x + 60 y = 1620 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=4$$

$$y=25$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$-10x+20y=460$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 20y বাদ দিন।

$$-10x=-20y+460$$

-10 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=-\frac{1}{10}\left(-20y+460\right)$$

-\frac{1}{10} কে -20y+460 বার গুণ করুন।

$$x=2y-46$$

অন্য সমীকরণ 30x+60y=1620 এ x এর জন্য -46+2y বিপরীত করু ন।

$$30\left(2y-46\right)+60y=1620$$

30 কে -46+2y বার গুণ করুন।

$$60y-1380+60y=1620$$

60y এ 60y যোগ করুন।

$$120y-1380=1620$$

সমীকরণের উভয় দিকে 1380 যোগ করুন।

$$120y=3000$$

120 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=25$$

x=2y-46 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 25 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=2\times 25-46$$

2 কে 25 বার গুণ করুন।

$$x=50-46$$

50 এ -46 যোগ করুন।

$$x=4$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=4,y=25$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{60}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{20}{-10\times 60-20\times 30}\\-\frac{30}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{10}{-10\times 60-20\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}&\frac{1}{60}\\\frac{1}{40}&\frac{1}{120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\times 460+\frac{1}{60}\times 1620\\\frac{1}{40}\times 460+\frac{1}{120}\times 1620\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\25\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=4,y=25$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

-10x এবং 30x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 30 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে -10 দিয়ে গুণ করুন।

$$30\left(-10\right)x+30\times 20y=30\times 460,-10\times 30x-10\times 60y=-10\times 1620$$

সিমপ্লিফাই।

$$-300x+600y=13800,-300x-600y=-16200$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে -300x+600y=13800 থেকে -300x-600y=-16200 বাদ দিন।

$$-300x+300x+600y+600y=13800+16200$$

300x এ -300x যোগ করুন। টার্ম -300x এবং 300x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$600y+600y=13800+16200$$

600y এ 600y যোগ করুন।

$$1200y=13800+16200$$

16200 এ 13800 যোগ করুন।

$$1200y=30000$$

1200 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=25$$

30x+60y=1620 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 25 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$30x+60\times 25=1620$$

60 কে 25 বার গুণ করুন।

$$30x+1500=1620$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 1500 বাদ দিন।

$$30x=120$$

30 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=4$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=4,y=25$$