{l}{text{(1)}-5x+2y=15}{text{(I)}x+3y=32}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { \text { (1) } - 5 x + 2 y = 15 } \\ { \text { (I) } x + 3 y = 32 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x = \frac{19}{17} = 1\frac{2}{17} \approx 1.117647059$$

$$y = \frac{175}{17} = 10\frac{5}{17} \approx 10.294117647$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$-5x+2y=15,x+3y=32$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$-5x+2y=15$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 2y বাদ দিন।

$$-5x=-2y+15$$

-5 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=-\frac{1}{5}\left(-2y+15\right)$$

-\frac{1}{5} কে -2y+15 বার গুণ করুন।

$$x=\frac{2}{5}y-3$$

অন্য সমীকরণ x+3y=32 এ x এর জন্য \frac{2y}{5}-3 বিপরীত করু ন।

$$\frac{2}{5}y-3+3y=32$$

3y এ \frac{2y}{5} যোগ করুন।

$$\frac{17}{5}y-3=32$$

সমীকরণের উভয় দিকে 3 যোগ করুন।

$$\frac{17}{5}y=35$$

\frac{17}{5} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=\frac{175}{17}$$

x=\frac{2}{5}y-3 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{175}{17} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{175}{17}-3$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে \frac{2}{5} কে \frac{175}{17} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{70}{17}-3$$

\frac{70}{17} এ -3 যোগ করুন।

$$x=\frac{19}{17}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{19}{17},y=\frac{175}{17}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$-5x+2y=15,x+3y=32$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}-5&2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\32\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-5&2\\1&3\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\32\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\32\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\32\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-5\times 3-2}&-\frac{2}{-5\times 3-2}\\-\frac{1}{-5\times 3-2}&-\frac{5}{-5\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\32\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\\\frac{1}{17}&\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\32\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}\times 15+\frac{2}{17}\times 32\\\frac{1}{17}\times 15+\frac{5}{17}\times 32\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{17}\\\frac{175}{17}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{19}{17},y=\frac{175}{17}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$-5x+2y=15,x+3y=32$$

-5x এবং x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 1 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে -5 দিয়ে গুণ করুন।

$$-5x+2y=15,-5x-5\times 3y=-5\times 32$$

সিমপ্লিফাই।

$$-5x+2y=15,-5x-15y=-160$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে -5x+2y=15 থেকে -5x-15y=-160 বাদ দিন।

$$-5x+5x+2y+15y=15+160$$

5x এ -5x যোগ করুন। টার্ম -5x এবং 5x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$2y+15y=15+160$$

15y এ 2y যোগ করুন।

$$17y=15+160$$

160 এ 15 যোগ করুন।

$$17y=175$$

17 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{175}{17}$$

x+3y=32 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{175}{17} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x+3\times \frac{175}{17}=32$$

3 কে \frac{175}{17} বার গুণ করুন।

$$x+\frac{525}{17}=32$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{525}{17} বাদ দিন।

$$x=\frac{19}{17}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{19}{17},y=\frac{175}{17}$$