{l}{2/3y-1/4x=3}{1/4y+2/5x=7}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 } { 3 } y - \frac { 1 } { 4 } x = 3 } \\ { \frac { 1 } { 4 } y + \frac { 2 } { 5 } x = 7 } \end{array} \right.$$

y, x এর জন্য সমাধান করুন

$$x = \frac{940}{79} = 11\frac{71}{79} \approx 11.898734177$$

$$y = \frac{708}{79} = 8\frac{76}{79} \approx 8.962025316$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$\frac{2}{3}y-\frac{1}{4}x=3,\frac{1}{4}y+\frac{2}{5}x=7$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের y পৃথক করে y-এর জন্য সমাধান করুন।

$$\frac{2}{3}y-\frac{1}{4}x=3$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{x}{4} যোগ করুন।

$$\frac{2}{3}y=\frac{1}{4}x+3$$

\frac{2}{3} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{4}x+3\right)$$

\frac{3}{2} কে \frac{x}{4}+3 বার গুণ করুন।

$$y=\frac{3}{8}x+\frac{9}{2}$$

অন্য সমীকরণ \frac{1}{4}y+\frac{2}{5}x=7 এ y এর জন্য \frac{9}{2}+\frac{3x}{8} বিপরীত করু ন।

$$\frac{1}{4}\left(\frac{3}{8}x+\frac{9}{2}\right)+\frac{2}{5}x=7$$

\frac{1}{4} কে \frac{9}{2}+\frac{3x}{8} বার গুণ করুন।

$$\frac{3}{32}x+\frac{9}{8}+\frac{2}{5}x=7$$

\frac{2x}{5} এ \frac{3x}{32} যোগ করুন।

$$\frac{79}{160}x+\frac{9}{8}=7$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{9}{8} বাদ দিন।

$$\frac{79}{160}x=\frac{47}{8}$$

\frac{79}{160} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$x=\frac{940}{79}$$

y=\frac{3}{8}x+\frac{9}{2} এ x এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{940}{79} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি y এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$y=\frac{3}{8}\times \frac{940}{79}+\frac{9}{2}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে \frac{3}{8} কে \frac{940}{79} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$y=\frac{705}{158}+\frac{9}{2}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে \frac{705}{158} এ \frac{9}{2} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$y=\frac{708}{79}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$y=\frac{708}{79},x=\frac{940}{79}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$\frac{2}{3}y-\frac{1}{4}x=3,\frac{1}{4}y+\frac{2}{5}x=7$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{5}}{\frac{2}{3}\times \frac{2}{5}-\left(-\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}\right)}&-\frac{-\frac{1}{4}}{\frac{2}{3}\times \frac{2}{5}-\left(-\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}\right)}\\-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{2}{3}\times \frac{2}{5}-\left(-\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}\right)}&\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}\times \frac{2}{5}-\left(-\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{96}{79}&\frac{60}{79}\\-\frac{60}{79}&\frac{160}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{96}{79}\times 3+\frac{60}{79}\times 7\\-\frac{60}{79}\times 3+\frac{160}{79}\times 7\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{708}{79}\\\frac{940}{79}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট y এবং x বের করুন।

$$y=\frac{708}{79},x=\frac{940}{79}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$\frac{2}{3}y-\frac{1}{4}x=3,\frac{1}{4}y+\frac{2}{5}x=7$$

\frac{2y}{3} এবং \frac{y}{4} সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে \frac{1}{4} দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে \frac{2}{3} দিয়ে গুণ করুন।

$$\frac{1}{4}\times \frac{2}{3}y+\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{4}\right)x=\frac{1}{4}\times 3,\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}y+\frac{2}{3}\times \frac{2}{5}x=\frac{2}{3}\times 7$$

সিমপ্লিফাই।

$$\frac{1}{6}y-\frac{1}{16}x=\frac{3}{4},\frac{1}{6}y+\frac{4}{15}x=\frac{14}{3}$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে \frac{1}{6}y-\frac{1}{16}x=\frac{3}{4} থেকে \frac{1}{6}y+\frac{4}{15}x=\frac{14}{3} বাদ দিন।

$$\frac{1}{6}y-\frac{1}{6}y-\frac{1}{16}x-\frac{4}{15}x=\frac{3}{4}-\frac{14}{3}$$

-\frac{y}{6} এ \frac{y}{6} যোগ করুন। টার্ম \frac{y}{6} এবং -\frac{y}{6} বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$-\frac{1}{16}x-\frac{4}{15}x=\frac{3}{4}-\frac{14}{3}$$

-\frac{4x}{15} এ -\frac{x}{16} যোগ করুন।

$$-\frac{79}{240}x=\frac{3}{4}-\frac{14}{3}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{14}{3} এ \frac{3}{4} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$-\frac{79}{240}x=-\frac{47}{12}$$

-\frac{79}{240} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$x=\frac{940}{79}$$

\frac{1}{4}y+\frac{2}{5}x=7 এ x এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{940}{79} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি y এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$\frac{1}{4}y+\frac{2}{5}\times \frac{940}{79}=7$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে \frac{2}{5} কে \frac{940}{79} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$\frac{1}{4}y+\frac{376}{79}=7$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{376}{79} বাদ দিন।

$$\frac{1}{4}y=\frac{177}{79}$$

4 দিয়ে উভয় দিককে গুণ করুন।

$$y=\frac{708}{79}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$y=\frac{708}{79},x=\frac{940}{79}$$