{l}{1/5y-x=1/2text{op}}{1/3x-1/2y=10}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 5 } y - x = \frac { 1 } { 2 } \text { op } } \\ { \frac { 1 } { 3 } x - \frac { 1 } { 2 } y = 10 } \end{array} \right.$$

y, x এর জন্য সমাধান করুন

$$x = \frac{45}{2} = 22\frac{1}{2} = 22.5$$

$$y=115$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের y পৃথক করে y-এর জন্য সমাধান করুন।

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2}$$

সমীকরণের উভয় দিকে x যোগ করুন।

$$\frac{1}{5}y=x+\frac{1}{2}$$

5 দিয়ে উভয় দিককে গুণ করুন।

$$y=5\left(x+\frac{1}{2}\right)$$

5 কে x+\frac{1}{2} বার গুণ করুন।

$$y=5x+\frac{5}{2}$$

অন্য সমীকরণ -\frac{1}{2}y+3x=10 এ y এর জন্য 5x+\frac{5}{2} বিপরীত করু ন।

$$-\frac{1}{2}\left(5x+\frac{5}{2}\right)+3x=10$$

-\frac{1}{2} কে 5x+\frac{5}{2} বার গুণ করুন।

$$-\frac{5}{2}x-\frac{5}{4}+3x=10$$

3x এ -\frac{5x}{2} যোগ করুন।

$$\frac{1}{2}x-\frac{5}{4}=10$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{5}{4} যোগ করুন।

$$\frac{1}{2}x=\frac{45}{4}$$

2 দিয়ে উভয় দিককে গুণ করুন।

$$x=\frac{45}{2}$$

y=5x+\frac{5}{2} এ x এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{45}{2} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি y এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$y=5\times \frac{45}{2}+\frac{5}{2}$$

5 কে \frac{45}{2} বার গুণ করুন।

$$y=\frac{225+5}{2}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে \frac{225}{2} এ \frac{5}{2} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$y=115$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30&10\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\times \frac{1}{2}+10\times 10\\5\times \frac{1}{2}+2\times 10\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}115\\\frac{45}{2}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট y এবং x বের করুন।

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

\frac{y}{5} এবং -\frac{y}{2} সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে -\frac{1}{2} দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে \frac{1}{5} দিয়ে গুণ করুন।

$$-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}y-\frac{1}{2}\left(-1\right)x=-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2},\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{2}\right)y+\frac{1}{5}\times 3x=\frac{1}{5}\times 10$$

সিমপ্লিফাই।

$$-\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4},-\frac{1}{10}y+\frac{3}{5}x=2$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে -\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4} থেকে -\frac{1}{10}y+\frac{3}{5}x=2 বাদ দিন।

$$-\frac{1}{10}y+\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}x=-\frac{1}{4}-2$$

\frac{y}{10} এ -\frac{y}{10} যোগ করুন। টার্ম -\frac{y}{10} এবং \frac{y}{10} বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}x=-\frac{1}{4}-2$$

-\frac{3x}{5} এ \frac{x}{2} যোগ করুন।

$$-\frac{1}{10}x=-\frac{1}{4}-2$$

-2 এ -\frac{1}{4} যোগ করুন।

$$-\frac{1}{10}x=-\frac{9}{4}$$

-10 দিয়ে উভয় দিককে গুণ করুন।

$$x=\frac{45}{2}$$

-\frac{1}{2}y+3x=10 এ x এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{45}{2} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি y এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$-\frac{1}{2}y+3\times \frac{45}{2}=10$$

3 কে \frac{45}{2} বার গুণ করুন।

$$-\frac{1}{2}y+\frac{135}{2}=10$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{135}{2} বাদ দিন।

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{115}{2}$$

-2 দিয়ে উভয় দিককে গুণ করুন।

$$y=115$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$