{c}{5x+4y=25}{-4x+2y=32}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { c } { 5 x + 4 y = 25 } \\ { - 4 x + 2 y = 32 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=-3$$

$$y=10$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$5x+4y=25,-4x+2y=32$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$5x+4y=25$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 4y বাদ দিন।

$$5x=-4y+25$$

5 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y+25\right)$$

\frac{1}{5} কে -4y+25 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{4}{5}y+5$$

অন্য সমীকরণ -4x+2y=32 এ x এর জন্য -\frac{4y}{5}+5 বিপরীত করু ন।

$$-4\left(-\frac{4}{5}y+5\right)+2y=32$$

-4 কে -\frac{4y}{5}+5 বার গুণ করুন।

$$\frac{16}{5}y-20+2y=32$$

2y এ \frac{16y}{5} যোগ করুন।

$$\frac{26}{5}y-20=32$$

সমীকরণের উভয় দিকে 20 যোগ করুন।

$$\frac{26}{5}y=52$$

\frac{26}{5} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=10$$

x=-\frac{4}{5}y+5 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 10 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{4}{5}\times 10+5$$

-\frac{4}{5} কে 10 বার গুণ করুন।

$$x=-8+5$$

-8 এ 5 যোগ করুন।

$$x=-3$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-3,y=10$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$5x+4y=25,-4x+2y=32$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}5&4\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\32\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&4\\-4&2\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\32\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\32\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\32\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-4\left(-4\right)}&-\frac{4}{5\times 2-4\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{5\times 2-4\left(-4\right)}&\frac{5}{5\times 2-4\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\32\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&-\frac{2}{13}\\\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\32\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 25-\frac{2}{13}\times 32\\\frac{2}{13}\times 25+\frac{5}{26}\times 32\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\10\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=-3,y=10$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$5x+4y=25,-4x+2y=32$$

5x এবং -4x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে -4 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 5 দিয়ে গুণ করুন।

$$-4\times 5x-4\times 4y=-4\times 25,5\left(-4\right)x+5\times 2y=5\times 32$$

সিমপ্লিফাই।

$$-20x-16y=-100,-20x+10y=160$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে -20x-16y=-100 থেকে -20x+10y=160 বাদ দিন।

$$-20x+20x-16y-10y=-100-160$$

20x এ -20x যোগ করুন। টার্ম -20x এবং 20x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$-16y-10y=-100-160$$

-10y এ -16y যোগ করুন।

$$-26y=-100-160$$

-160 এ -100 যোগ করুন।

$$-26y=-260$$

-26 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=10$$

-4x+2y=32 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 10 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$-4x+2\times 10=32$$

2 কে 10 বার গুণ করুন।

$$-4x+20=32$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 20 বাদ দিন।

$$-4x=12$$

-4 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=-3$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-3,y=10$$