{c}{40x+60y=480}{30x+15y=180}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { c } { 40 x + 60 y = 480 } \\ { 30 x + 15 y = 180 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=3$$

$$y=6$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$40x+60y=480$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 60y বাদ দিন।

$$40x=-60y+480$$

40 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{40}\left(-60y+480\right)$$

\frac{1}{40} কে -60y+480 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{3}{2}y+12$$

অন্য সমীকরণ 30x+15y=180 এ x এর জন্য -\frac{3y}{2}+12 বিপরীত করু ন।

$$30\left(-\frac{3}{2}y+12\right)+15y=180$$

30 কে -\frac{3y}{2}+12 বার গুণ করুন।

$$-45y+360+15y=180$$

15y এ -45y যোগ করুন।

$$-30y+360=180$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 360 বাদ দিন।

$$-30y=-180$$

-30 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=6$$

x=-\frac{3}{2}y+12 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 6 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+12$$

-\frac{3}{2} কে 6 বার গুণ করুন।

$$x=-9+12$$

-9 এ 12 যোগ করুন।

$$x=3$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=3,y=6$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-60\times 30}&-\frac{60}{40\times 15-60\times 30}\\-\frac{30}{40\times 15-60\times 30}&\frac{40}{40\times 15-60\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{20}\\\frac{1}{40}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 480+\frac{1}{20}\times 180\\\frac{1}{40}\times 480-\frac{1}{30}\times 180\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=3,y=6$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

40x এবং 30x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 30 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 40 দিয়ে গুণ করুন।

$$30\times 40x+30\times 60y=30\times 480,40\times 30x+40\times 15y=40\times 180$$

সিমপ্লিফাই।

$$1200x+1800y=14400,1200x+600y=7200$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 1200x+1800y=14400 থেকে 1200x+600y=7200 বাদ দিন।

$$1200x-1200x+1800y-600y=14400-7200$$

-1200x এ 1200x যোগ করুন। টার্ম 1200x এবং -1200x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$1800y-600y=14400-7200$$

-600y এ 1800y যোগ করুন।

$$1200y=14400-7200$$

-7200 এ 14400 যোগ করুন।

$$1200y=7200$$

1200 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=6$$

30x+15y=180 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 6 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$30x+15\times 6=180$$

15 কে 6 বার গুণ করুন।

$$30x+90=180$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 90 বাদ দিন।

$$30x=90$$

30 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=3$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=3,y=6$$