{r}{u-30v=-65}{-3u+80v=165}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { r } { u - 30 v = - 65 } \\ { - 3 u + 80 v = 165 } \end{array} \right.$$

u, v এর জন্য সমাধান করুন

$$u=25$$

$$v=3$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের u পৃথক করে u-এর জন্য সমাধান করুন।

$$u-30v=-65$$

সমীকরণের উভয় দিকে 30v যোগ করুন।

$$u=30v-65$$

অন্য সমীকরণ -3u+80v=165 এ u এর জন্য 30v-65 বিপরীত করু ন।

$$-3\left(30v-65\right)+80v=165$$

-3 কে 30v-65 বার গুণ করুন।

$$-90v+195+80v=165$$

80v এ -90v যোগ করুন।

$$-10v+195=165$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 195 বাদ দিন।

$$-10v=-30$$

-10 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$v=3$$

u=30v-65 এ v এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 3 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি u এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$u=30\times 3-65$$

30 কে 3 বার গুণ করুন।

$$u=90-65$$

90 এ -65 যোগ করুন।

$$u=25$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$u=25,v=3$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&-\frac{-30}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8&-3\\-\frac{3}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\left(-65\right)-3\times 165\\-\frac{3}{10}\left(-65\right)-\frac{1}{10}\times 165\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\3\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট u এবং v বের করুন।

$$u=25,v=3$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

u এবং -3u সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে -3 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 1 দিয়ে গুণ করুন।

$$-3u-3\left(-30\right)v=-3\left(-65\right),-3u+80v=165$$

সিমপ্লিফাই।

$$-3u+90v=195,-3u+80v=165$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে -3u+90v=195 থেকে -3u+80v=165 বাদ দিন।

$$-3u+3u+90v-80v=195-165$$

3u এ -3u যোগ করুন। টার্ম -3u এবং 3u বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$90v-80v=195-165$$

-80v এ 90v যোগ করুন।

$$10v=195-165$$

-165 এ 195 যোগ করুন।

$$10v=30$$

10 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$v=3$$

-3u+80v=165 এ v এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 3 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি u এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$-3u+80\times 3=165$$

80 কে 3 বার গুণ করুন।

$$-3u+240=165$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 240 বাদ দিন।

$$-3u=-75$$

-3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$u=25$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$u=25,v=3$$