{r}{6x-5y=14}{-3x+5y=-2}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { r } { 6 x - 5 y = 14 } \\ { - 3 x + 5 y = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=4$$

$$y=2$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$6x-5y=14,-3x+5y=-2$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$6x-5y=14$$

সমীকরণের উভয় দিকে 5y যোগ করুন।

$$6x=5y+14$$

6 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{6}\left(5y+14\right)$$

\frac{1}{6} কে 5y+14 বার গুণ করুন।

$$x=\frac{5}{6}y+\frac{7}{3}$$

অন্য সমীকরণ -3x+5y=-2 এ x এর জন্য \frac{5y}{6}+\frac{7}{3} বিপরীত করু ন।

$$-3\left(\frac{5}{6}y+\frac{7}{3}\right)+5y=-2$$

-3 কে \frac{5y}{6}+\frac{7}{3} বার গুণ করুন।

$$-\frac{5}{2}y-7+5y=-2$$

5y এ -\frac{5y}{2} যোগ করুন।

$$\frac{5}{2}y-7=-2$$

সমীকরণের উভয় দিকে 7 যোগ করুন।

$$\frac{5}{2}y=5$$

\frac{5}{2} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=2$$

x=\frac{5}{6}y+\frac{7}{3} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 2 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=\frac{5}{6}\times 2+\frac{7}{3}$$

\frac{5}{6} কে 2 বার গুণ করুন।

$$x=\frac{5+7}{3}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে \frac{5}{3} এ \frac{7}{3} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=4$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=4,y=2$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$6x-5y=14,-3x+5y=-2$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6\times 5-\left(-5\left(-3\right)\right)}&-\frac{-5}{6\times 5-\left(-5\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{6\times 5-\left(-5\left(-3\right)\right)}&\frac{6}{6\times 5-\left(-5\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 14+\frac{1}{3}\left(-2\right)\\\frac{1}{5}\times 14+\frac{2}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=4,y=2$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$6x-5y=14,-3x+5y=-2$$

6x এবং -3x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে -3 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 6 দিয়ে গুণ করুন।

$$-3\times 6x-3\left(-5\right)y=-3\times 14,6\left(-3\right)x+6\times 5y=6\left(-2\right)$$

সিমপ্লিফাই।

$$-18x+15y=-42,-18x+30y=-12$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে -18x+15y=-42 থেকে -18x+30y=-12 বাদ দিন।

$$-18x+18x+15y-30y=-42+12$$

18x এ -18x যোগ করুন। টার্ম -18x এবং 18x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$15y-30y=-42+12$$

-30y এ 15y যোগ করুন।

$$-15y=-42+12$$

12 এ -42 যোগ করুন।

$$-15y=-30$$

-15 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=2$$

-3x+5y=-2 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 2 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$-3x+5\times 2=-2$$

5 কে 2 বার গুণ করুন।

$$-3x+10=-2$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 10 বাদ দিন।

$$-3x=-12$$

-3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=4$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=4,y=2$$