{r}{5p-q=7}{-2p+3q=5}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { r } { 5 p - q = 7 } \\ { - 2 p + 3 q = 5 } \end{array} \right.$$

p, q এর জন্য সমাধান করুন

$$p=2$$

$$q=3$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের p পৃথক করে p-এর জন্য সমাধান করুন।

$$5p-q=7$$

সমীকরণের উভয় দিকে q যোগ করুন।

$$5p=q+7$$

5 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$p=\frac{1}{5}\left(q+7\right)$$

\frac{1}{5} কে q+7 বার গুণ করুন।

$$p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}$$

অন্য সমীকরণ -2p+3q=5 এ p এর জন্য \frac{7+q}{5} বিপরীত করু ন।

$$-2\left(\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}\right)+3q=5$$

-2 কে \frac{7+q}{5} বার গুণ করুন।

$$-\frac{2}{5}q-\frac{14}{5}+3q=5$$

3q এ -\frac{2q}{5} যোগ করুন।

$$\frac{13}{5}q-\frac{14}{5}=5$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{14}{5} যোগ করুন।

$$\frac{13}{5}q=\frac{39}{5}$$

\frac{13}{5} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$q=3$$

p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5} এ q এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 3 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি p এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$p=\frac{1}{5}\times 3+\frac{7}{5}$$

\frac{1}{5} কে 3 বার গুণ করুন।

$$p=\frac{3+7}{5}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে \frac{3}{5} এ \frac{7}{5} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$p=2$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$p=2,q=3$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{2}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 7+\frac{1}{13}\times 5\\\frac{2}{13}\times 7+\frac{5}{13}\times 5\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট p এবং q বের করুন।

$$p=2,q=3$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

5p এবং -2p সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে -2 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 5 দিয়ে গুণ করুন।

$$-2\times 5p-2\left(-1\right)q=-2\times 7,5\left(-2\right)p+5\times 3q=5\times 5$$

সিমপ্লিফাই।

$$-10p+2q=-14,-10p+15q=25$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে -10p+2q=-14 থেকে -10p+15q=25 বাদ দিন।

$$-10p+10p+2q-15q=-14-25$$

10p এ -10p যোগ করুন। টার্ম -10p এবং 10p বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$2q-15q=-14-25$$

-15q এ 2q যোগ করুন।

$$-13q=-14-25$$

-25 এ -14 যোগ করুন।

$$-13q=-39$$

-13 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$q=3$$

-2p+3q=5 এ q এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 3 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি p এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$-2p+3\times 3=5$$

3 কে 3 বার গুণ করুন।

$$-2p+9=5$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 9 বাদ দিন।

$$-2p=-4$$

-2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$p=2$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$p=2,q=3$$