{l}{x+y=15}{250x+80y=2900}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 15 } \\ { 250 x + 80 y = 2900 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=10$$

$$y=5$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$x+y=15$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে y বাদ দিন।

$$x=-y+15$$

অন্য সমীকরণ 250x+80y=2900 এ x এর জন্য -y+15 বিপরীত করু ন।

$$250\left(-y+15\right)+80y=2900$$

250 কে -y+15 বার গুণ করুন।

$$-250y+3750+80y=2900$$

80y এ -250y যোগ করুন।

$$-170y+3750=2900$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 3750 বাদ দিন।

$$-170y=-850$$

-170 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=5$$

x=-y+15 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 5 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-5+15$$

-5 এ 15 যোগ করুন।

$$x=10$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=10,y=5$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-250}&-\frac{1}{80-250}\\-\frac{250}{80-250}&\frac{1}{80-250}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{17}&\frac{1}{170}\\\frac{25}{17}&-\frac{1}{170}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{17}\times 15+\frac{1}{170}\times 2900\\\frac{25}{17}\times 15-\frac{1}{170}\times 2900\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=10,y=5$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

x এবং 250x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 250 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 1 দিয়ে গুণ করুন।

$$250x+250y=250\times 15,250x+80y=2900$$

সিমপ্লিফাই।

$$250x+250y=3750,250x+80y=2900$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 250x+250y=3750 থেকে 250x+80y=2900 বাদ দিন।

$$250x-250x+250y-80y=3750-2900$$

-250x এ 250x যোগ করুন। টার্ম 250x এবং -250x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$250y-80y=3750-2900$$

-80y এ 250y যোগ করুন।

$$170y=3750-2900$$

-2900 এ 3750 যোগ করুন।

$$170y=850$$

170 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=5$$

250x+80y=2900 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 5 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$250x+80\times 5=2900$$

80 কে 5 বার গুণ করুন।

$$250x+400=2900$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 400 বাদ দিন।

$$250x=2500$$

250 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=10$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=10,y=5$$