{l}{x+my=a}{x-ny=b}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + m y = a } \\ { x - n y = b } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{bm+an}{m+n}\text{, }y=-\frac{b-a}{m+n}\text{, }&m\neq -n\\x=ny+b\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=b\text{ and }m=-n\\x=b\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=0\text{ and }n=0\text{ and }a=b\end{matrix}\right.$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$x+my=a$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে my বাদ দিন।

$$x=\left(-m\right)y+a$$

অন্য সমীকরণ x+\left(-n\right)y=b এ x এর জন্য a-my বিপরীত করু ন।

$$\left(-m\right)y+a+\left(-n\right)y=b$$

-ny এ -my যোগ করুন।

$$\left(-m-n\right)y+a=b$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে a বাদ দিন।

$$\left(-m-n\right)y=b-a$$

-m-n দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=-\frac{b-a}{m+n}$$

x=\left(-m\right)y+a এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{b-a}{m+n} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=\left(-m\right)\left(-\frac{b-a}{m+n}\right)+a$$

-m কে -\frac{b-a}{m+n} বার গুণ করুন।

$$x=\frac{m\left(b-a\right)}{m+n}+a$$

\frac{m\left(b-a\right)}{m+n} এ a যোগ করুন।

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=-\frac{b-a}{m+n}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{n}{-n-m}&-\frac{m}{-n-m}\\-\frac{1}{-n-m}&\frac{1}{-n-m}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}&\frac{m}{m+n}\\\frac{1}{m+n}&\frac{1}{-m-n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}a+\frac{m}{m+n}b\\\frac{1}{m+n}a+\frac{1}{-m-n}b\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{bm+an}{m+n}\\\frac{a-b}{m+n}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে x+my=a থেকে x+\left(-n\right)y=b বাদ দিন।

$$x-x+my+ny=a-b$$

-x এ x যোগ করুন। টার্ম x এবং -x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$my+ny=a-b$$

ny এ my যোগ করুন।

$$\left(m+n\right)y=a-b$$

m+n দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{a-b}{m+n}$$

x+\left(-n\right)y=b এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{a-b}{m+n} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x+\left(-n\right)\times \frac{a-b}{m+n}=b$$

-n কে \frac{a-b}{m+n} বার গুণ করুন।

$$x-\frac{n\left(a-b\right)}{m+n}=b$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{n\left(a-b\right)}{m+n} যোগ করুন।

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$