{l}{x+4y=5}{-2x-y=-4}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 4 y = 5 } \\ { - 2 x - y = - 4 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1.571428571$$

$$y=\frac{6}{7}\approx 0.857142857$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$x+4y=5,-2x-y=-4$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$x+4y=5$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 4y বাদ দিন।

$$x=-4y+5$$

অন্য সমীকরণ -2x-y=-4 এ x এর জন্য -4y+5 বিপরীত করু ন।

$$-2\left(-4y+5\right)-y=-4$$

-2 কে -4y+5 বার গুণ করুন।

$$8y-10-y=-4$$

-y এ 8y যোগ করুন।

$$7y-10=-4$$

সমীকরণের উভয় দিকে 10 যোগ করুন।

$$7y=6$$

7 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{6}{7}$$

x=-4y+5 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{6}{7} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-4\times \frac{6}{7}+5$$

-4 কে \frac{6}{7} বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{24}{7}+5$$

-\frac{24}{7} এ 5 যোগ করুন।

$$x=\frac{11}{7}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{11}{7},y=\frac{6}{7}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$x+4y=5,-2x-y=-4$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-4\left(-2\right)}&-\frac{4}{-1-4\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-1-4\left(-2\right)}&\frac{1}{-1-4\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{4}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 5-\frac{4}{7}\left(-4\right)\\\frac{2}{7}\times 5+\frac{1}{7}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{7}\\\frac{6}{7}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{11}{7},y=\frac{6}{7}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$x+4y=5,-2x-y=-4$$

x এবং -2x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে -2 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 1 দিয়ে গুণ করুন।

$$-2x-2\times 4y=-2\times 5,-2x-y=-4$$

সিমপ্লিফাই।

$$-2x-8y=-10,-2x-y=-4$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে -2x-8y=-10 থেকে -2x-y=-4 বাদ দিন।

$$-2x+2x-8y+y=-10+4$$

2x এ -2x যোগ করুন। টার্ম -2x এবং 2x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$-8y+y=-10+4$$

y এ -8y যোগ করুন।

$$-7y=-10+4$$

4 এ -10 যোগ করুন।

$$-7y=-6$$

-7 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{6}{7}$$

-2x-y=-4 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{6}{7} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$-2x-\frac{6}{7}=-4$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{6}{7} যোগ করুন।

$$-2x=-\frac{22}{7}$$

-2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{11}{7}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{11}{7},y=\frac{6}{7}$$