{l}{8x+y=32}{4x+3y=18}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + y = 32 } \\ { 4 x + 3 y = 18 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x = \frac{39}{10} = 3\frac{9}{10} = 3.9$$

$$y=\frac{4}{5}=0.8$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$8x+y=32,4x+3y=18$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$8x+y=32$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে y বাদ দিন।

$$8x=-y+32$$

8 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{8}\left(-y+32\right)$$

\frac{1}{8} কে -y+32 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{1}{8}y+4$$

অন্য সমীকরণ 4x+3y=18 এ x এর জন্য -\frac{y}{8}+4 বিপরীত করু ন।

$$4\left(-\frac{1}{8}y+4\right)+3y=18$$

4 কে -\frac{y}{8}+4 বার গুণ করুন।

$$-\frac{1}{2}y+16+3y=18$$

3y এ -\frac{y}{2} যোগ করুন।

$$\frac{5}{2}y+16=18$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 16 বাদ দিন।

$$\frac{5}{2}y=2$$

\frac{5}{2} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=\frac{4}{5}$$

x=-\frac{1}{8}y+4 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{4}{5} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{1}{8}\times \frac{4}{5}+4$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -\frac{1}{8} কে \frac{4}{5} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-\frac{1}{10}+4$$

-\frac{1}{10} এ 4 যোগ করুন।

$$x=\frac{39}{10}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{39}{10},y=\frac{4}{5}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$8x+y=32,4x+3y=18$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}8&1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&1\\4&3\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\18\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\18\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-4}&-\frac{1}{8\times 3-4}\\-\frac{4}{8\times 3-4}&\frac{8}{8\times 3-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\18\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}&-\frac{1}{20}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\18\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}\times 32-\frac{1}{20}\times 18\\-\frac{1}{5}\times 32+\frac{2}{5}\times 18\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{39}{10}\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{39}{10},y=\frac{4}{5}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$8x+y=32,4x+3y=18$$

8x এবং 4x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 4 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 8 দিয়ে গুণ করুন।

$$4\times 8x+4y=4\times 32,8\times 4x+8\times 3y=8\times 18$$

সিমপ্লিফাই।

$$32x+4y=128,32x+24y=144$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 32x+4y=128 থেকে 32x+24y=144 বাদ দিন।

$$32x-32x+4y-24y=128-144$$

-32x এ 32x যোগ করুন। টার্ম 32x এবং -32x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$4y-24y=128-144$$

-24y এ 4y যোগ করুন।

$$-20y=128-144$$

-144 এ 128 যোগ করুন।

$$-20y=-16$$

-20 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{4}{5}$$

4x+3y=18 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{4}{5} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$4x+3\times \frac{4}{5}=18$$

3 কে \frac{4}{5} বার গুণ করুন।

$$4x+\frac{12}{5}=18$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{12}{5} বাদ দিন।

$$4x=\frac{78}{5}$$

4 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{39}{10}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{39}{10},y=\frac{4}{5}$$