{l}{8x+20y=11400}{10x+30y=22500}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 20 y = 11400 } \\ { 10 x + 30 y = 22500 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=-2700$$

$$y=1650$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$8x+20y=11400,10x+30y=22500$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$8x+20y=11400$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 20y বাদ দিন।

$$8x=-20y+11400$$

8 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{8}\left(-20y+11400\right)$$

\frac{1}{8} কে -20y+11400 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{5}{2}y+1425$$

অন্য সমীকরণ 10x+30y=22500 এ x এর জন্য -\frac{5y}{2}+1425 বিপরীত করু ন।

$$10\left(-\frac{5}{2}y+1425\right)+30y=22500$$

10 কে -\frac{5y}{2}+1425 বার গুণ করুন।

$$-25y+14250+30y=22500$$

30y এ -25y যোগ করুন।

$$5y+14250=22500$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 14250 বাদ দিন।

$$5y=8250$$

5 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=1650$$

x=-\frac{5}{2}y+1425 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 1650 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{5}{2}\times 1650+1425$$

-\frac{5}{2} কে 1650 বার গুণ করুন।

$$x=-4125+1425$$

-4125 এ 1425 যোগ করুন।

$$x=-2700$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-2700,y=1650$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$8x+20y=11400,10x+30y=22500$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{8\times 30-20\times 10}&-\frac{20}{8\times 30-20\times 10}\\-\frac{10}{8\times 30-20\times 10}&\frac{8}{8\times 30-20\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 11400-\frac{1}{2}\times 22500\\-\frac{1}{4}\times 11400+\frac{1}{5}\times 22500\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2700\\1650\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=-2700,y=1650$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$8x+20y=11400,10x+30y=22500$$

8x এবং 10x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 10 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 8 দিয়ে গুণ করুন।

$$10\times 8x+10\times 20y=10\times 11400,8\times 10x+8\times 30y=8\times 22500$$

সিমপ্লিফাই।

$$80x+200y=114000,80x+240y=180000$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 80x+200y=114000 থেকে 80x+240y=180000 বাদ দিন।

$$80x-80x+200y-240y=114000-180000$$

-80x এ 80x যোগ করুন। টার্ম 80x এবং -80x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$200y-240y=114000-180000$$

-240y এ 200y যোগ করুন।

$$-40y=114000-180000$$

-180000 এ 114000 যোগ করুন।

$$-40y=-66000$$

-40 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=1650$$

10x+30y=22500 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 1650 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$10x+30\times 1650=22500$$

30 কে 1650 বার গুণ করুন।

$$10x+49500=22500$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 49500 বাদ দিন।

$$10x=-27000$$

10 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=-2700$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-2700,y=1650$$