{l}{6x-5y=3}{3x+2y=12}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 5 y = 3 } \\ { 3 x + 2 y = 12 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x = \frac{22}{9} = 2\frac{4}{9} \approx 2.444444444$$

$$y = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$6x-5y=3,3x+2y=12$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$6x-5y=3$$

সমীকরণের উভয় দিকে 5y যোগ করুন।

$$6x=5y+3$$

6 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{6}\left(5y+3\right)$$

\frac{1}{6} কে 5y+3 বার গুণ করুন।

$$x=\frac{5}{6}y+\frac{1}{2}$$

অন্য সমীকরণ 3x+2y=12 এ x এর জন্য \frac{5y}{6}+\frac{1}{2} বিপরীত করু ন।

$$3\left(\frac{5}{6}y+\frac{1}{2}\right)+2y=12$$

3 কে \frac{5y}{6}+\frac{1}{2} বার গুণ করুন।

$$\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}+2y=12$$

2y এ \frac{5y}{2} যোগ করুন।

$$\frac{9}{2}y+\frac{3}{2}=12$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{3}{2} বাদ দিন।

$$\frac{9}{2}y=\frac{21}{2}$$

\frac{9}{2} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=\frac{7}{3}$$

x=\frac{5}{6}y+\frac{1}{2} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{7}{3} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=\frac{5}{6}\times \frac{7}{3}+\frac{1}{2}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে \frac{5}{6} কে \frac{7}{3} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{35}{18}+\frac{1}{2}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে \frac{35}{18} এ \frac{1}{2} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{22}{9}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{22}{9},y=\frac{7}{3}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$6x-5y=3,3x+2y=12$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{6\times 2-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{6\times 2-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{6\times 2-\left(-5\times 3\right)}&\frac{6}{6\times 2-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{5}{27}\\-\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\times 3+\frac{5}{27}\times 12\\-\frac{1}{9}\times 3+\frac{2}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{9}\\\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{22}{9},y=\frac{7}{3}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$6x-5y=3,3x+2y=12$$

6x এবং 3x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 3 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 6 দিয়ে গুণ করুন।

$$3\times 6x+3\left(-5\right)y=3\times 3,6\times 3x+6\times 2y=6\times 12$$

সিমপ্লিফাই।

$$18x-15y=9,18x+12y=72$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 18x-15y=9 থেকে 18x+12y=72 বাদ দিন।

$$18x-18x-15y-12y=9-72$$

-18x এ 18x যোগ করুন। টার্ম 18x এবং -18x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$-15y-12y=9-72$$

-12y এ -15y যোগ করুন।

$$-27y=9-72$$

-72 এ 9 যোগ করুন।

$$-27y=-63$$

-27 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{7}{3}$$

3x+2y=12 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{7}{3} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$3x+2\times \frac{7}{3}=12$$

2 কে \frac{7}{3} বার গুণ করুন।

$$3x+\frac{14}{3}=12$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{14}{3} বাদ দিন।

$$3x=\frac{22}{3}$$

3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{22}{9}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{22}{9},y=\frac{7}{3}$$