{l}{6x+15y=360}{8x+10y=440}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 15 y = 360 } \\ { 8 x + 10 y = 440 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=50$$

$$y=4$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$6x+15y=360$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 15y বাদ দিন।

$$6x=-15y+360$$

6 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{6}\left(-15y+360\right)$$

\frac{1}{6} কে -15y+360 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{5}{2}y+60$$

অন্য সমীকরণ 8x+10y=440 এ x এর জন্য -\frac{5y}{2}+60 বিপরীত করু ন।

$$8\left(-\frac{5}{2}y+60\right)+10y=440$$

8 কে -\frac{5y}{2}+60 বার গুণ করুন।

$$-20y+480+10y=440$$

10y এ -20y যোগ করুন।

$$-10y+480=440$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 480 বাদ দিন।

$$-10y=-40$$

-10 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=4$$

x=-\frac{5}{2}y+60 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 4 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{5}{2}\times 4+60$$

-\frac{5}{2} কে 4 বার গুণ করুন।

$$x=-10+60$$

-10 এ 60 যোগ করুন।

$$x=50$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=50,y=4$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{6\times 10-15\times 8}&-\frac{15}{6\times 10-15\times 8}\\-\frac{8}{6\times 10-15\times 8}&\frac{6}{6\times 10-15\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 360+\frac{1}{4}\times 440\\\frac{2}{15}\times 360-\frac{1}{10}\times 440\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\4\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=50,y=4$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

6x এবং 8x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 8 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 6 দিয়ে গুণ করুন।

$$8\times 6x+8\times 15y=8\times 360,6\times 8x+6\times 10y=6\times 440$$

সিমপ্লিফাই।

$$48x+120y=2880,48x+60y=2640$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 48x+120y=2880 থেকে 48x+60y=2640 বাদ দিন।

$$48x-48x+120y-60y=2880-2640$$

-48x এ 48x যোগ করুন। টার্ম 48x এবং -48x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$120y-60y=2880-2640$$

-60y এ 120y যোগ করুন।

$$60y=2880-2640$$

-2640 এ 2880 যোগ করুন।

$$60y=240$$

60 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=4$$

8x+10y=440 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 4 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$8x+10\times 4=440$$

10 কে 4 বার গুণ করুন।

$$8x+40=440$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 40 বাদ দিন।

$$8x=400$$

8 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=50$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=50,y=4$$