{l}{6u+4v=5}{9u-8v=4}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 u + 4 v = 5 } \\ { 9 u - 8 v = 4 } \end{array} \right.$$

u, v এর জন্য সমাধান করুন

$$u=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$v=\frac{1}{4}=0.25$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের u পৃথক করে u-এর জন্য সমাধান করুন।

$$6u+4v=5$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 4v বাদ দিন।

$$6u=-4v+5$$

6 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$u=\frac{1}{6}\left(-4v+5\right)$$

\frac{1}{6} কে -4v+5 বার গুণ করুন।

$$u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}$$

অন্য সমীকরণ 9u-8v=4 এ u এর জন্য -\frac{2v}{3}+\frac{5}{6} বিপরীত করু ন।

$$9\left(-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}\right)-8v=4$$

9 কে -\frac{2v}{3}+\frac{5}{6} বার গুণ করুন।

$$-6v+\frac{15}{2}-8v=4$$

-8v এ -6v যোগ করুন।

$$-14v+\frac{15}{2}=4$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{15}{2} বাদ দিন।

$$-14v=-\frac{7}{2}$$

-14 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$v=\frac{1}{4}$$

u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6} এ v এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{1}{4} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি u এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$u=-\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}+\frac{5}{6}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -\frac{2}{3} কে \frac{1}{4} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$u=\frac{-1+5}{6}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{1}{6} এ \frac{5}{6} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$u=\frac{2}{3}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-4\times 9}&-\frac{4}{6\left(-8\right)-4\times 9}\\-\frac{9}{6\left(-8\right)-4\times 9}&\frac{6}{6\left(-8\right)-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{3}{28}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}\times 5+\frac{1}{21}\times 4\\\frac{3}{28}\times 5-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট u এবং v বের করুন।

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

6u এবং 9u সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 9 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 6 দিয়ে গুণ করুন।

$$9\times 6u+9\times 4v=9\times 5,6\times 9u+6\left(-8\right)v=6\times 4$$

সিমপ্লিফাই।

$$54u+36v=45,54u-48v=24$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 54u+36v=45 থেকে 54u-48v=24 বাদ দিন।

$$54u-54u+36v+48v=45-24$$

-54u এ 54u যোগ করুন। টার্ম 54u এবং -54u বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$36v+48v=45-24$$

48v এ 36v যোগ করুন।

$$84v=45-24$$

-24 এ 45 যোগ করুন।

$$84v=21$$

84 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$v=\frac{1}{4}$$

9u-8v=4 এ v এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{1}{4} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি u এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$9u-8\times \frac{1}{4}=4$$

-8 কে \frac{1}{4} বার গুণ করুন।

$$9u-2=4$$

সমীকরণের উভয় দিকে 2 যোগ করুন।

$$9u=6$$

9 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$u=\frac{2}{3}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$