{l}{5y-4z=-1}{-7y+7z=9}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 y - 4 z = - 1 } \\ { - 7 y + 7 z = 9 } \end{array} \right.$$

y, z এর জন্য সমাধান করুন

$$y = \frac{29}{7} = 4\frac{1}{7} \approx 4.142857143$$

$$z = \frac{38}{7} = 5\frac{3}{7} \approx 5.428571429$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের y পৃথক করে y-এর জন্য সমাধান করুন।

$$5y-4z=-1$$

সমীকরণের উভয় দিকে 4z যোগ করুন।

$$5y=4z-1$$

5 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{1}{5}\left(4z-1\right)$$

\frac{1}{5} কে 4z-1 বার গুণ করুন।

$$y=\frac{4}{5}z-\frac{1}{5}$$

অন্য সমীকরণ -7y+7z=9 এ y এর জন্য \frac{4z-1}{5} বিপরীত করু ন।

$$-7\left(\frac{4}{5}z-\frac{1}{5}\right)+7z=9$$

-7 কে \frac{4z-1}{5} বার গুণ করুন।

$$-\frac{28}{5}z+\frac{7}{5}+7z=9$$

7z এ -\frac{28z}{5} যোগ করুন।

$$\frac{7}{5}z+\frac{7}{5}=9$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{7}{5} বাদ দিন।

$$\frac{7}{5}z=\frac{38}{5}$$

\frac{7}{5} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$z=\frac{38}{7}$$

y=\frac{4}{5}z-\frac{1}{5} এ z এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{38}{7} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি y এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$y=\frac{4}{5}\times \frac{38}{7}-\frac{1}{5}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে \frac{4}{5} কে \frac{38}{7} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$y=\frac{152}{35}-\frac{1}{5}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে \frac{152}{35} এ -\frac{1}{5} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$y=\frac{29}{7}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{7}\\1&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1+\frac{4}{7}\times 9\\-1+\frac{5}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{29}{7}\\\frac{38}{7}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট y এবং z বের করুন।

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

5y এবং -7y সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে -7 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 5 দিয়ে গুণ করুন।

$$-7\times 5y-7\left(-4\right)z=-7\left(-1\right),5\left(-7\right)y+5\times 7z=5\times 9$$

সিমপ্লিফাই।

$$-35y+28z=7,-35y+35z=45$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে -35y+28z=7 থেকে -35y+35z=45 বাদ দিন।

$$-35y+35y+28z-35z=7-45$$

35y এ -35y যোগ করুন। টার্ম -35y এবং 35y বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$28z-35z=7-45$$

-35z এ 28z যোগ করুন।

$$-7z=7-45$$

-45 এ 7 যোগ করুন।

$$-7z=-38$$

-7 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$z=\frac{38}{7}$$

-7y+7z=9 এ z এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{38}{7} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি y এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$-7y+7\times \frac{38}{7}=9$$

7 কে \frac{38}{7} বার গুণ করুন।

$$-7y+38=9$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 38 বাদ দিন।

$$-7y=-29$$

-7 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{29}{7}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$