{l}{5x+y=39}{3x+4y=54}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + y = 39 } \\ { 3 x + 4 y = 54 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=6$$

$$y=9$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$5x+y=39,3x+4y=54$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$5x+y=39$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে y বাদ দিন।

$$5x=-y+39$$

5 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+39\right)$$

\frac{1}{5} কে -y+39 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{39}{5}$$

অন্য সমীকরণ 3x+4y=54 এ x এর জন্য \frac{-y+39}{5} বিপরীত করু ন।

$$3\left(-\frac{1}{5}y+\frac{39}{5}\right)+4y=54$$

3 কে \frac{-y+39}{5} বার গুণ করুন।

$$-\frac{3}{5}y+\frac{117}{5}+4y=54$$

4y এ -\frac{3y}{5} যোগ করুন।

$$\frac{17}{5}y+\frac{117}{5}=54$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{117}{5} বাদ দিন।

$$\frac{17}{5}y=\frac{153}{5}$$

\frac{17}{5} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=9$$

x=-\frac{1}{5}y+\frac{39}{5} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 9 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{1}{5}\times 9+\frac{39}{5}$$

-\frac{1}{5} কে 9 বার গুণ করুন।

$$x=\frac{-9+39}{5}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{9}{5} এ \frac{39}{5} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=6$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=6,y=9$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$5x+y=39,3x+4y=54$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3}&-\frac{1}{5\times 4-3}\\-\frac{3}{5\times 4-3}&\frac{5}{5\times 4-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}&-\frac{1}{17}\\-\frac{3}{17}&\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\times 39-\frac{1}{17}\times 54\\-\frac{3}{17}\times 39+\frac{5}{17}\times 54\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=6,y=9$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$5x+y=39,3x+4y=54$$

5x এবং 3x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 3 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 5 দিয়ে গুণ করুন।

$$3\times 5x+3y=3\times 39,5\times 3x+5\times 4y=5\times 54$$

সিমপ্লিফাই।

$$15x+3y=117,15x+20y=270$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 15x+3y=117 থেকে 15x+20y=270 বাদ দিন।

$$15x-15x+3y-20y=117-270$$

-15x এ 15x যোগ করুন। টার্ম 15x এবং -15x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$3y-20y=117-270$$

-20y এ 3y যোগ করুন।

$$-17y=117-270$$

-270 এ 117 যোগ করুন।

$$-17y=-153$$

-17 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=9$$

3x+4y=54 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 9 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$3x+4\times 9=54$$

4 কে 9 বার গুণ করুন।

$$3x+36=54$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 36 বাদ দিন।

$$3x=18$$

3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=6$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=6,y=9$$