{l}{5x+6y=32}{3x-2y=-20}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 6 y = 32 } \\ { 3 x - 2 y = - 20 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=-2$$

$$y=7$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$5x+6y=32,3x-2y=-20$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$5x+6y=32$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 6y বাদ দিন।

$$5x=-6y+32$$

5 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{5}\left(-6y+32\right)$$

\frac{1}{5} কে -6y+32 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{6}{5}y+\frac{32}{5}$$

অন্য সমীকরণ 3x-2y=-20 এ x এর জন্য \frac{-6y+32}{5} বিপরীত করু ন।

$$3\left(-\frac{6}{5}y+\frac{32}{5}\right)-2y=-20$$

3 কে \frac{-6y+32}{5} বার গুণ করুন।

$$-\frac{18}{5}y+\frac{96}{5}-2y=-20$$

-2y এ -\frac{18y}{5} যোগ করুন।

$$-\frac{28}{5}y+\frac{96}{5}=-20$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{96}{5} বাদ দিন।

$$-\frac{28}{5}y=-\frac{196}{5}$$

-\frac{28}{5} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=7$$

x=-\frac{6}{5}y+\frac{32}{5} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 7 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{6}{5}\times 7+\frac{32}{5}$$

-\frac{6}{5} কে 7 বার গুণ করুন।

$$x=\frac{-42+32}{5}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{42}{5} এ \frac{32}{5} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-2$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-2,y=7$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$5x+6y=32,3x-2y=-20$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\-20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\-20\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\-20\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\-20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-6\times 3}&-\frac{6}{5\left(-2\right)-6\times 3}\\-\frac{3}{5\left(-2\right)-6\times 3}&\frac{5}{5\left(-2\right)-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\-20\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\\\frac{3}{28}&-\frac{5}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\-20\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 32+\frac{3}{14}\left(-20\right)\\\frac{3}{28}\times 32-\frac{5}{28}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=-2,y=7$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$5x+6y=32,3x-2y=-20$$

5x এবং 3x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 3 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 5 দিয়ে গুণ করুন।

$$3\times 5x+3\times 6y=3\times 32,5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\left(-20\right)$$

সিমপ্লিফাই।

$$15x+18y=96,15x-10y=-100$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 15x+18y=96 থেকে 15x-10y=-100 বাদ দিন।

$$15x-15x+18y+10y=96+100$$

-15x এ 15x যোগ করুন। টার্ম 15x এবং -15x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$18y+10y=96+100$$

10y এ 18y যোগ করুন।

$$28y=96+100$$

100 এ 96 যোগ করুন।

$$28y=196$$

28 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=7$$

3x-2y=-20 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 7 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$3x-2\times 7=-20$$

-2 কে 7 বার গুণ করুন।

$$3x-14=-20$$

সমীকরণের উভয় দিকে 14 যোগ করুন।

$$3x=-6$$

3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=-2$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-2,y=7$$