{l}{5x+3y=1}{4x+7y=2}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 1 } \\ { 4 x + 7 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=\frac{1}{23}\approx 0.043478261$$

$$y=\frac{6}{23}\approx 0.260869565$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$5x+3y=1,4x+7y=2$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$5x+3y=1$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 3y বাদ দিন।

$$5x=-3y+1$$

5 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+1\right)$$

\frac{1}{5} কে -3y+1 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{1}{5}$$

অন্য সমীকরণ 4x+7y=2 এ x এর জন্য \frac{-3y+1}{5} বিপরীত করু ন।

$$4\left(-\frac{3}{5}y+\frac{1}{5}\right)+7y=2$$

4 কে \frac{-3y+1}{5} বার গুণ করুন।

$$-\frac{12}{5}y+\frac{4}{5}+7y=2$$

7y এ -\frac{12y}{5} যোগ করুন।

$$\frac{23}{5}y+\frac{4}{5}=2$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{4}{5} বাদ দিন।

$$\frac{23}{5}y=\frac{6}{5}$$

\frac{23}{5} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=\frac{6}{23}$$

x=-\frac{3}{5}y+\frac{1}{5} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{6}{23} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{6}{23}+\frac{1}{5}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -\frac{3}{5} কে \frac{6}{23} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-\frac{18}{115}+\frac{1}{5}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{18}{115} এ \frac{1}{5} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{1}{23}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{1}{23},y=\frac{6}{23}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$5x+3y=1,4x+7y=2$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-3\times 4}&-\frac{3}{5\times 7-3\times 4}\\-\frac{4}{5\times 7-3\times 4}&\frac{5}{5\times 7-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}&-\frac{3}{23}\\-\frac{4}{23}&\frac{5}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}-\frac{3}{23}\times 2\\-\frac{4}{23}+\frac{5}{23}\times 2\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}\\\frac{6}{23}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{1}{23},y=\frac{6}{23}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$5x+3y=1,4x+7y=2$$

5x এবং 4x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 4 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 5 দিয়ে গুণ করুন।

$$4\times 5x+4\times 3y=4,5\times 4x+5\times 7y=5\times 2$$

সিমপ্লিফাই।

$$20x+12y=4,20x+35y=10$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 20x+12y=4 থেকে 20x+35y=10 বাদ দিন।

$$20x-20x+12y-35y=4-10$$

-20x এ 20x যোগ করুন। টার্ম 20x এবং -20x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$12y-35y=4-10$$

-35y এ 12y যোগ করুন।

$$-23y=4-10$$

-10 এ 4 যোগ করুন।

$$-23y=-6$$

-23 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{6}{23}$$

4x+7y=2 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{6}{23} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$4x+7\times \frac{6}{23}=2$$

7 কে \frac{6}{23} বার গুণ করুন।

$$4x+\frac{42}{23}=2$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{42}{23} বাদ দিন।

$$4x=\frac{4}{23}$$

4 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{23}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{1}{23},y=\frac{6}{23}$$