{l}{4x-5y=9}{7x-4y=15}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 5 y = 9 } \\ { 7 x - 4 y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x = \frac{39}{19} = 2\frac{1}{19} \approx 2.052631579$$

$$y=-\frac{3}{19}\approx -0.157894737$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$4x-5y=9$$

সমীকরণের উভয় দিকে 5y যোগ করুন।

$$4x=5y+9$$

4 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+9\right)$$

\frac{1}{4} কে 5y+9 বার গুণ করুন।

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{4}$$

অন্য সমীকরণ 7x-4y=15 এ x এর জন্য \frac{5y+9}{4} বিপরীত করু ন।

$$7\left(\frac{5}{4}y+\frac{9}{4}\right)-4y=15$$

7 কে \frac{5y+9}{4} বার গুণ করুন।

$$\frac{35}{4}y+\frac{63}{4}-4y=15$$

-4y এ \frac{35y}{4} যোগ করুন।

$$\frac{19}{4}y+\frac{63}{4}=15$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{63}{4} বাদ দিন।

$$\frac{19}{4}y=-\frac{3}{4}$$

\frac{19}{4} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=-\frac{3}{19}$$

x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{4} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{3}{19} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=\frac{5}{4}\left(-\frac{3}{19}\right)+\frac{9}{4}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে \frac{5}{4} কে -\frac{3}{19} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-\frac{15}{76}+\frac{9}{4}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{15}{76} এ \frac{9}{4} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{39}{19}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{7}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}\times 9+\frac{5}{19}\times 15\\-\frac{7}{19}\times 9+\frac{4}{19}\times 15\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{39}{19}\\-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

4x এবং 7x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 7 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 4 দিয়ে গুণ করুন।

$$7\times 4x+7\left(-5\right)y=7\times 9,4\times 7x+4\left(-4\right)y=4\times 15$$

সিমপ্লিফাই।

$$28x-35y=63,28x-16y=60$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 28x-35y=63 থেকে 28x-16y=60 বাদ দিন।

$$28x-28x-35y+16y=63-60$$

-28x এ 28x যোগ করুন। টার্ম 28x এবং -28x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$-35y+16y=63-60$$

16y এ -35y যোগ করুন।

$$-19y=63-60$$

-60 এ 63 যোগ করুন।

$$-19y=3$$

-19 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=-\frac{3}{19}$$

7x-4y=15 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{3}{19} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$7x-4\left(-\frac{3}{19}\right)=15$$

-4 কে -\frac{3}{19} বার গুণ করুন।

$$7x+\frac{12}{19}=15$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{12}{19} বাদ দিন।

$$7x=\frac{273}{19}$$

7 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{39}{19}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$