{l}{4x+y=-5}{3x-2y=-14}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = - 5 } \\ { 3 x - 2 y = - 14 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x = -\frac{24}{11} = -2\frac{2}{11} \approx -2.181818182$$

$$y = \frac{41}{11} = 3\frac{8}{11} \approx 3.727272727$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$4x+y=-5,3x-2y=-14$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$4x+y=-5$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে y বাদ দিন।

$$4x=-y-5$$

4 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{4}\left(-y-5\right)$$

\frac{1}{4} কে -y-5 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}$$

অন্য সমীকরণ 3x-2y=-14 এ x এর জন্য \frac{-y-5}{4} বিপরীত করু ন।

$$3\left(-\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}\right)-2y=-14$$

3 কে \frac{-y-5}{4} বার গুণ করুন।

$$-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4}-2y=-14$$

-2y এ -\frac{3y}{4} যোগ করুন।

$$-\frac{11}{4}y-\frac{15}{4}=-14$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{15}{4} যোগ করুন।

$$-\frac{11}{4}y=-\frac{41}{4}$$

-\frac{11}{4} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=\frac{41}{11}$$

x=-\frac{1}{4}y-\frac{5}{4} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{41}{11} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{41}{11}-\frac{5}{4}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -\frac{1}{4} কে \frac{41}{11} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-\frac{41}{44}-\frac{5}{4}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{41}{44} এ -\frac{5}{4} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-\frac{24}{11}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-\frac{24}{11},y=\frac{41}{11}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$4x+y=-5,3x-2y=-14$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-3}&-\frac{1}{4\left(-2\right)-3}\\-\frac{3}{4\left(-2\right)-3}&\frac{4}{4\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-5\right)+\frac{1}{11}\left(-14\right)\\\frac{3}{11}\left(-5\right)-\frac{4}{11}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{24}{11}\\\frac{41}{11}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=-\frac{24}{11},y=\frac{41}{11}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$4x+y=-5,3x-2y=-14$$

4x এবং 3x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 3 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 4 দিয়ে গুণ করুন।

$$3\times 4x+3y=3\left(-5\right),4\times 3x+4\left(-2\right)y=4\left(-14\right)$$

সিমপ্লিফাই।

$$12x+3y=-15,12x-8y=-56$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 12x+3y=-15 থেকে 12x-8y=-56 বাদ দিন।

$$12x-12x+3y+8y=-15+56$$

-12x এ 12x যোগ করুন। টার্ম 12x এবং -12x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$3y+8y=-15+56$$

8y এ 3y যোগ করুন।

$$11y=-15+56$$

56 এ -15 যোগ করুন।

$$11y=41$$

11 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{41}{11}$$

3x-2y=-14 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{41}{11} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$3x-2\times \frac{41}{11}=-14$$

-2 কে \frac{41}{11} বার গুণ করুন।

$$3x-\frac{82}{11}=-14$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{82}{11} যোগ করুন।

$$3x=-\frac{72}{11}$$

3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=-\frac{24}{11}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-\frac{24}{11},y=\frac{41}{11}$$