{l}{4x+3y+14=0}{2x+5y+16=0}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y + 14 = 0 } \\ { 2 x + 5 y + 16 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x = -\frac{11}{7} = -1\frac{4}{7} \approx -1.571428571$$

$$y = -\frac{18}{7} = -2\frac{4}{7} \approx -2.571428571$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$4x+3y+14=0,2x+5y+16=0$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$4x+3y+14=0$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 14 বাদ দিন।

$$4x+3y=-14$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 3y বাদ দিন।

$$4x=-3y-14$$

4 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y-14\right)$$

\frac{1}{4} কে -3y-14 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2}$$

অন্য সমীকরণ 2x+5y+16=0 এ x এর জন্য -\frac{3y}{4}-\frac{7}{2} বিপরীত করু ন।

$$2\left(-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2}\right)+5y+16=0$$

2 কে -\frac{3y}{4}-\frac{7}{2} বার গুণ করুন।

$$-\frac{3}{2}y-7+5y+16=0$$

5y এ -\frac{3y}{2} যোগ করুন।

$$\frac{7}{2}y-7+16=0$$

16 এ -7 যোগ করুন।

$$\frac{7}{2}y+9=0$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 9 বাদ দিন।

$$\frac{7}{2}y=-9$$

\frac{7}{2} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=-\frac{18}{7}$$

x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{18}{7} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{3}{4}\left(-\frac{18}{7}\right)-\frac{7}{2}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -\frac{3}{4} কে -\frac{18}{7} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{27}{14}-\frac{7}{2}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে \frac{27}{14} এ -\frac{7}{2} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-\frac{11}{7}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$4x+3y+14=0,2x+5y+16=0$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{4\times 5-3\times 2}&\frac{4}{4\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}&-\frac{3}{14}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}\left(-14\right)-\frac{3}{14}\left(-16\right)\\-\frac{1}{7}\left(-14\right)+\frac{2}{7}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{7}\\-\frac{18}{7}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$4x+3y+14=0,2x+5y+16=0$$

4x এবং 2x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 2 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 4 দিয়ে গুণ করুন।

$$2\times 4x+2\times 3y+2\times 14=0,4\times 2x+4\times 5y+4\times 16=0$$

সিমপ্লিফাই।

$$8x+6y+28=0,8x+20y+64=0$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 8x+6y+28=0 থেকে 8x+20y+64=0 বাদ দিন।

$$8x-8x+6y-20y+28-64=0$$

-8x এ 8x যোগ করুন। টার্ম 8x এবং -8x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$6y-20y+28-64=0$$

-20y এ 6y যোগ করুন।

$$-14y+28-64=0$$

-64 এ 28 যোগ করুন।

$$-14y-36=0$$

সমীকরণের উভয় দিকে 36 যোগ করুন।

$$-14y=36$$

-14 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=-\frac{18}{7}$$

2x+5y+16=0 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{18}{7} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$2x+5\left(-\frac{18}{7}\right)+16=0$$

5 কে -\frac{18}{7} বার গুণ করুন।

$$2x-\frac{90}{7}+16=0$$

16 এ -\frac{90}{7} যোগ করুন।

$$2x+\frac{22}{7}=0$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{22}{7} বাদ দিন।

$$2x=-\frac{22}{7}$$

2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=-\frac{11}{7}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}$$