{l}{4x+2y=25,2}{5y+x=32}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 25,2 } \\ { 5 y + x = 32 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=\frac{31}{9}\approx 3,444444444$$

$$y=\frac{257}{45}\approx 5,711111111$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$4x+2y=25,2;x+5y=32$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$4x+2y=25,2$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 2y বাদ দিন।

$$4x=-2y+25,2$$

4 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+25,2\right)$$

\frac{1}{4} কে -2y+25,2 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}$$

অন্য সমীকরণ x+5y=32 এ x এর জন্য -\frac{y}{2}+\frac{63}{10} বিপরীত করু ন।

$$-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}+5y=32$$

5y এ -\frac{y}{2} যোগ করুন।

$$\frac{9}{2}y+\frac{63}{10}=32$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{63}{10} বাদ দিন।

$$\frac{9}{2}y=\frac{257}{10}$$

\frac{9}{2} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=\frac{257}{45}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{257}{45} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{257}{45}+\frac{63}{10}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -\frac{1}{2} কে \frac{257}{45} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-\frac{257}{90}+\frac{63}{10}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{257}{90} এ \frac{63}{10} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{31}{9}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{31}{9};y=\frac{257}{45}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$4x+2y=25,2;x+5y=32$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য matrix{{a,b},{c,d}}, উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল matrix{{d/(ad-bc),(-b)/(ad-bc)},{(-c)/(ad-bc),a/(ad-bc)}}, তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-2}&-\frac{2}{4\times 5-2}\\-\frac{1}{4\times 5-2}&\frac{4}{4\times 5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}&-\frac{1}{9}\\-\frac{1}{18}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}\times 25,2-\frac{1}{9}\times 32\\-\frac{1}{18}\times 25,2+\frac{2}{9}\times 32\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{9}\\\frac{257}{45}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{31}{9};y=\frac{257}{45}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$4x+2y=25,2;x+5y=32$$

4x এবং x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 1 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 4 দিয়ে গুণ করুন।

$$4x+2y=25,2;4x+4\times 5y=4\times 32$$

সিমপ্লিফাই।

$$4x+2y=25,2;4x+20y=128$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 4x+2y=25,2 থেকে 4x+20y=128 বাদ দিন।

$$4x-4x+2y-20y=25,2-128$$

-4x এ 4x যোগ করুন। টার্ম 4x এবং -4x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$2y-20y=25,2-128$$

-20y এ 2y যোগ করুন।

$$-18y=25,2-128$$

-128 এ 25,2 যোগ করুন।

$$-18y=-102,8$$

-18 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{257}{45}$$

x+5y=32 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{257}{45} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x+5\times \frac{257}{45}=32$$

5 কে \frac{257}{45} বার গুণ করুন।

$$x+\frac{257}{9}=32$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{257}{9} বাদ দিন।

$$x=\frac{31}{9}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{31}{9};y=\frac{257}{45}$$