{l}{3y=4x+8}{2y-8x=7}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 y = 4 x + 8 } \\ { 2 y - 8 x = 7 } \end{array} \right.$$

y, x এর জন্য সমাধান করুন

$$x=-\frac{5}{16}=-0.3125$$

$$y = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

প্রথম সমীকরণটির সরলীকরণ করুন। উভয় দিক থেকে 4x বিয়োগ করুন।

$$3y-4x=8$$

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের y পৃথক করে y-এর জন্য সমাধান করুন।

$$3y-4x=8$$

সমীকরণের উভয় দিকে 4x যোগ করুন।

$$3y=4x+8$$

3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{1}{3}\left(4x+8\right)$$

\frac{1}{3} কে 8+4x বার গুণ করুন।

$$y=\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}$$

অন্য সমীকরণ 2y-8x=7 এ y এর জন্য \frac{8+4x}{3} বিপরীত করু ন।

$$2\left(\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}\right)-8x=7$$

2 কে \frac{8+4x}{3} বার গুণ করুন।

$$\frac{8}{3}x+\frac{16}{3}-8x=7$$

-8x এ \frac{8x}{3} যোগ করুন।

$$-\frac{16}{3}x+\frac{16}{3}=7$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{16}{3} বাদ দিন।

$$-\frac{16}{3}x=\frac{5}{3}$$

-\frac{16}{3} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$x=-\frac{5}{16}$$

y=\frac{4}{3}x+\frac{8}{3} এ x এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{5}{16} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি y এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$y=\frac{4}{3}\left(-\frac{5}{16}\right)+\frac{8}{3}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে \frac{4}{3} কে -\frac{5}{16} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$y=-\frac{5}{12}+\frac{8}{3}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{5}{12} এ \frac{8}{3} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$y=\frac{9}{4}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

প্রথম সমীকরণটির সরলীকরণ করুন। উভয় দিক থেকে 4x বিয়োগ করুন।

$$3y-4x=8$$

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 8-\frac{1}{4}\times 7\\\frac{1}{8}\times 8-\frac{3}{16}\times 7\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\\-\frac{5}{16}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট y এবং x বের করুন।

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

প্রথম সমীকরণটির সরলীকরণ করুন। উভয় দিক থেকে 4x বিয়োগ করুন।

$$3y-4x=8$$

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

3y এবং 2y সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 2 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 3 দিয়ে গুণ করুন।

$$2\times 3y+2\left(-4\right)x=2\times 8,3\times 2y+3\left(-8\right)x=3\times 7$$

সিমপ্লিফাই।

$$6y-8x=16,6y-24x=21$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 6y-8x=16 থেকে 6y-24x=21 বাদ দিন।

$$6y-6y-8x+24x=16-21$$

-6y এ 6y যোগ করুন। টার্ম 6y এবং -6y বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$-8x+24x=16-21$$

24x এ -8x যোগ করুন।

$$16x=16-21$$

-21 এ 16 যোগ করুন।

$$16x=-5$$

16 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=-\frac{5}{16}$$

2y-8x=7 এ x এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{5}{16} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি y এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$2y-8\left(-\frac{5}{16}\right)=7$$

-8 কে -\frac{5}{16} বার গুণ করুন।

$$2y+\frac{5}{2}=7$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{5}{2} বাদ দিন।

$$2y=\frac{9}{2}$$

2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{9}{4}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$