{l}{3x+y=11}{-4x-y=11}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 11 } \\ { - 4 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=-22$$

$$y=77$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$3x+y=11$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে y বাদ দিন।

$$3x=-y+11$$

3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+11\right)$$

\frac{1}{3} কে -y+11 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}$$

অন্য সমীকরণ -4x-y=11 এ x এর জন্য \frac{-y+11}{3} বিপরীত করু ন।

$$-4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}\right)-y=11$$

-4 কে \frac{-y+11}{3} বার গুণ করুন।

$$\frac{4}{3}y-\frac{44}{3}-y=11$$

-y এ \frac{4y}{3} যোগ করুন।

$$\frac{1}{3}y-\frac{44}{3}=11$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{44}{3} যোগ করুন।

$$\frac{1}{3}y=\frac{77}{3}$$

3 দিয়ে উভয় দিককে গুণ করুন।

$$y=77$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 77 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{1}{3}\times 77+\frac{11}{3}$$

-\frac{1}{3} কে 77 বার গুণ করুন।

$$x=\frac{-77+11}{3}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{77}{3} এ \frac{11}{3} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-22$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-22,y=77$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11-11\\4\times 11+3\times 11\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22\\77\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=-22,y=77$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

3x এবং -4x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে -4 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 3 দিয়ে গুণ করুন।

$$-4\times 3x-4y=-4\times 11,3\left(-4\right)x+3\left(-1\right)y=3\times 11$$

সিমপ্লিফাই।

$$-12x-4y=-44,-12x-3y=33$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে -12x-4y=-44 থেকে -12x-3y=33 বাদ দিন।

$$-12x+12x-4y+3y=-44-33$$

12x এ -12x যোগ করুন। টার্ম -12x এবং 12x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$-4y+3y=-44-33$$

3y এ -4y যোগ করুন।

$$-y=-44-33$$

-33 এ -44 যোগ করুন।

$$-y=-77$$

-1 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=77$$

-4x-y=11 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 77 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$-4x-77=11$$

সমীকরণের উভয় দিকে 77 যোগ করুন।

$$-4x=88$$

-4 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=-22$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-22,y=77$$