{l}{3x+6y=24}{9x+5y=68}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 6 y = 24 } \\ { 9 x + 5 y = 68 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x = \frac{96}{13} = 7\frac{5}{13} \approx 7.384615385$$

$$y=\frac{4}{13}\approx 0.307692308$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$3x+6y=24$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 6y বাদ দিন।

$$3x=-6y+24$$

3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{3}\left(-6y+24\right)$$

\frac{1}{3} কে -6y+24 বার গুণ করুন।

$$x=-2y+8$$

অন্য সমীকরণ 9x+5y=68 এ x এর জন্য -2y+8 বিপরীত করু ন।

$$9\left(-2y+8\right)+5y=68$$

9 কে -2y+8 বার গুণ করুন।

$$-18y+72+5y=68$$

5y এ -18y যোগ করুন।

$$-13y+72=68$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 72 বাদ দিন।

$$-13y=-4$$

-13 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{4}{13}$$

x=-2y+8 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{4}{13} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-2\times \frac{4}{13}+8$$

-2 কে \frac{4}{13} বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{8}{13}+8$$

-\frac{8}{13} এ 8 যোগ করুন।

$$x=\frac{96}{13}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-6\times 9}&-\frac{6}{3\times 5-6\times 9}\\-\frac{9}{3\times 5-6\times 9}&\frac{3}{3\times 5-6\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}&\frac{2}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}\times 24+\frac{2}{13}\times 68\\\frac{3}{13}\times 24-\frac{1}{13}\times 68\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{96}{13}\\\frac{4}{13}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

3x এবং 9x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 9 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 3 দিয়ে গুণ করুন।

$$9\times 3x+9\times 6y=9\times 24,3\times 9x+3\times 5y=3\times 68$$

সিমপ্লিফাই।

$$27x+54y=216,27x+15y=204$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 27x+54y=216 থেকে 27x+15y=204 বাদ দিন।

$$27x-27x+54y-15y=216-204$$

-27x এ 27x যোগ করুন। টার্ম 27x এবং -27x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$54y-15y=216-204$$

-15y এ 54y যোগ করুন।

$$39y=216-204$$

-204 এ 216 যোগ করুন।

$$39y=12$$

39 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{4}{13}$$

9x+5y=68 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{4}{13} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$9x+5\times \frac{4}{13}=68$$

5 কে \frac{4}{13} বার গুণ করুন।

$$9x+\frac{20}{13}=68$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{20}{13} বাদ দিন।

$$9x=\frac{864}{13}$$

9 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{96}{13}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$